Soluciones enteras de : $u+pv=(x+py)(z+pt)$

Question

Sea $p$ un número primo impar y $u, v$ enteros. Entonces, existen enteros $x, y, z, t$ tales que $$u+pv=(x+py)(z+pt)$$ ¿Cómo puedo encontrar todos los enteros $x, y, z, t$ sabiendo $u, v$? Lo que he hecho: $$p^2(yt)+p(yz+xt-v)+xz-u=0$$ Si $yt=0$ entonces es trivial. Así que supongo que $yt\neq 0$ Tenemos una ecuación cuadrática en $p$ por lo tanto $$(yz+xt-v)^2-4yt(xz-u)=r^2$$ donde $r$ es un entero. $$(yz+xt)^2-2v(yz+xt)+y^2-4yt(xz-u)=r^2$$ $$(yz-xt)^2-2v(yz+xt)+y^2+4ytu=r^2$$ Lo cual no me llevó demasiado lejos. ¿Alguna pista?

Answer 1

Creo que lo he encontrado. La ecuación anterior produce $2$ primos impares $p,q$. Entonces, es fácil de demostrar que: $$zx-u=pqyt$$ $$v-xt-yz=(p+q)yt$$ Entonces $$u=zx-pqyt$$ $$v=(p+q)yt+xt+yz$$ Se sigue que: $$(zx-pqyt)+p[yt(p+q)+xt+yz]=(x+py)(z+pt)$$