Editar 1. Me di cuenta de que mi demostración tiene un error. Debido a que utilizo el teorema de la función inversa en $g \circ f$, mi respuesta solo es válida si se requiere que $g \circ f$ sea continuamente diferenciable.
Respuesta original. Aquí hay un contraejemplo.
Decimos que una función $f$ es localmente inyectiva en un punto $x$ si existe un intervalo pequeño $(x - \delta, x + \delta)$ donde $x$ es inyectivo. Supongamos que tenemos una función $f$ que no es localmente inyectiva en un punto $x$. Además, supongamos que tenemos una función $g$ donde la composición $g \circ f$ es diferenciable en $x$. Notemos que debido a que $f$ no es localmente inyectiva en $x$, $g \circ f$ no puede ser localmente inyectiva en $x$. Entonces, por el teorema de la función inversa, su derivada $(g \circ f)'$ debe necesariamente anularse en $x$. Esto nos lleva a la siguiente pregunta:
Pregunta. ¿Podemos encontrar una función que sea en todas partes continua, pero en ningún lugar localmente inyectiva?
Si podemos encontrar una función así $f$, entonces cualquier composición $g \circ f$ debe tener una derivada idénticamente cero. Esto significa que $g \circ f$ debe ser constante, lo que implica que $g$ es constante (al menos en el rango de $f$)!
Podemos lograr esto con una función $f$ que es en todas partes continua, pero en ninguna parte diferenciable. Existen muchas funciones así, siendo la más famosa la función "patológica" Función de Weierstrass. Para probar que $f$ no es localmente inyectiva en ningún lugar, supongamos por contradicción que es localmente inyectiva en un punto $x$. Entonces, hay un intervalo pequeño $I$ alrededor de $x$ donde $f$ es inyectiva y continua, y por lo tanto monótona. Según el teorema de la función monótona de Lebesgue referenciado en esta publicación, $f$ debe ser diferenciable casi en todas partes en $I$. Esto es una contradicción porque $f$ no es diferenciable en ningún lugar.
Editar 2. En lugar de examinar la inyectividad local, quizás podamos examinar una condición ligeramente más fuerte. Digamos que una función $f$ tiene una esquina (no es un término real) en un punto $x$ si para todo $\delta > 0$, existen $x_1, x_2 \in (x - \delta, x + \delta)$ tal que $x_1 < x < x_2$ y $f(x_1) = f(x_2)$. La clave aquí es que una "esquina" requiere que los puntos que rompen la inyectividad se encuentren a ambos lados de $x$.
Podemos demostrar que si $f$ tiene una esquina en $x$ y $g \circ f$ es diferenciable en $x$, entonces $(g \circ f)'$ debe anularse en $x$. Para todo $\delta > 0$, sea $x_{1, \delta} < x < x_{2, \delta}$ como en la definición de una esquina. Tomando los puntos del lado izquierdo, obtenemos $$ \tag{1} (g \circ f)'(x) = \lim_{\delta \to 0^+} \frac{(g \circ f)(x_{1, \delta}) - (g \circ f)(x)} {x_{1, \delta} - x}, $$ y tomando los puntos del lado derecho, obtenemos $$ \tag{2} (g \circ f)'(x) = \lim_{\delta \to 0^+} \frac{(g \circ f)(x_{2, \delta}) - (g \circ f)(x)} {x_{2, \delta} - x}. $$ Notemos que los numeradores de $(1)$ y $(2)$ son iguales porque $(g \circ f)(x_{1, \delta}) = (g \circ f)(x_{2, \delta})$. Sin embargo, los denominadores $x_{1, \delta} - x$ y $x_{2, \delta} - x$ tienen signos opuestos, por lo que debemos tener $(g \circ f)'(x) = 0$. Por lo tanto, en lugar de preguntar lo siguiente:
Pregunta. ¿Podemos encontrar una función que sea en todas partes continua, pero tenga una esquina en cada punto en $\mathbb{R}$?
Debido a que la función de Weierstrass se comporta como un fractal, parece que esto sería cierto (pero tal vez solo tiene esquinas densamente empaquetadas en $\mathbb{R}$, en cuyo caso la diferenciabilidad continua nos vuelve a perjudicar). Sin embargo, no estoy seguro de cómo probar esto.
