Sea $H$ un espacio de Hilbert infinito dimensional separable. Denotemos el álgebra de Calkin por $Q(H)=B(H)/K(H)$, y $U(Q(H))$ el grupo de unitarios en $Q(H).
Estoy tratando de demostrar que el mapa $F: U(Q(H))/U(Q(H))_0 \to \mathbb{Z}$ (donde $U(Q(H))_0$ denota el componente de identidad) definido por $F((A+K(H))+U(Q(H))_0)=index(A)$, donde $A+K(H)$ es unitario en $Q(H)$, está bien definido, es sobreyectivo e inyectivo.
Primero, como $A+K(H)\in U(Q(H))$ en particular es inversible en $Q(H)$ y por el Teorema de Atkinson, $A$ es un operador de Fredholm y $\forall k\in K(H), index(A)=index(A+k)$ está bien definido.
Para la bien definición de $F$ es suficiente verificar que si $A+K(H)$ está en el componente conectado de la identidad, es decir, hay un camino de unitarios en $Q(H)$ entre $A+K(H)$ y $1_{B(H)}+K(H)$ entonces $index(A)=0.
No pude demostrarlo. Sé que si $F(H)$ denota los operadores de Fredholm en $B(H)$ entonces $F_1,F_2 \in F(H)$ están en el mismo componente conectado si tienen el mismo índice. Pero es solo en $B(H)$.
Tampoco pude demostrar que $F$ es inyectiva, es decir, si $index(A)=0$ entonces $A+K(H)\in U(Q(H))_0.
Sé que si $index(A)=0$ entonces $A$ es una perturbación de un operador inversible en $B(H)$ por un operador compacto. También sé que por la descomposición polar $|A|$ es unitario y que $GL(B(H))$ está conectado por caminos. Si pudiera tomar un unitario de la clase de $A$ en $Q(H)$ entonces podría construir un camino de elementos inversibles entre $1$ y ese unitario. Por la descomposición polar incluso podemos construir un camino de unitarios entre ellos, lo que podría ayudar.
La sobreyectividad está bien, solo tomando la clase del desplazamiento unilateral en el álgebra de calkin. Allí es unitario y su índice es igual a $-1$, por lo que podemos alcanzar cualquier elemento de $\mathbb{Z}.
Se agradecerá cualquier ayuda.
