Dadas las raíces, ¿existe un polinomio con coeficientes "enteros"?

Question

Dado raíces de la forma $$a, ~~\sqrt[3]{b+c\sqrt{d}}, \sqrt[3]{b-c\sqrt{d}}$$ $a,b,c,d\in {\mathbb Z}$,
¿existe un polinomio cúbico con coeficientes enteros con las raíces mencionadas?

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Intenté algunos ejemplos y parezco encontrar un polinomio cúbico cada vez XD
¿Hay una demostración de esto?

NOTA: Me topé con esto mientras intentaba resolver esta pregunta.

Answer 1

No, debería ser al menos un polinomio de 6º grado en general.

Sea $(b,c,d)=(0,1,2)$. ¿Cuál es el polinomio mínimo para $\sqrt[6]{2}$?