Ayuda de Decaimiento Exponencial

Question

Hola, no quiero sonar como un estudiante despistado que ya debería saber este tema, pero realmente estoy confundido sobre el tema del crecimiento y decrecimiento exponencial. Específicamente esta pregunta:

"Cuando finalmente los zombies tomen el control, la población de la Tierra disminuirá de forma exponencial. Cada HORA que pase, la población humana disminuirá un 5%. La población hoy es de 6,000,000,000, encuentra una función P que dé la población de la Tierra d DÍAS después del comienzo del apocalipsis zombie."

Realmente me pone entre la espada y la pared. Como puedes imaginar, investigué esta pregunta y varios métodos de crecimiento exponencial en línea, en mi libro de texto y en mis apuntes de clase, pero sigo volviendo al punto de partida, sin tener ni idea de cómo funciona esto. Agradecería mucho si alguien pudiera al menos señalarme en la dirección correcta sobre cómo modelar un decrecimiento con variables exponenciales que involucren HORAS y DÍAS como dice la pregunta. Ya sé que mi fórmula inicial es 6,000,000,000(0.85), ¡solo necesito saber los exponentes utilizados! ¿Es 6,000,000,000(0.85)^d/60, 6,000,000,000(0.85)^d/1? ¿O algo así? ¡Por favor ayuda, realmente quiero entender este concepto!

Answer 1

Dado que estás haciendo cálculos, usaremos la función exponencial del matemático real $e^x$. Mide el tiempo en horas, con $t=0$ cuando comenzó la descomposición exponencial. Entonces $$P(t)=P(0)e^{-kt},\tag{1}$$ donde $k$ es una constante. La población inicial $P(0)$ es $6\times 10^9$.

Primero encontramos $k$. Nos dicen que $P(1)=(0.95)P(0)$. Sustituyendo en $(1),$ obtenemos $$(0.95)P(0)=P(0)e^{-k}.$$ Haz algunas cancelaciones, y toma el logaritmo natural de ambos lados. Obtenemos $k=-\ln(0.95)$.

Ahora la Ecuación $(1)$ se puede reescribir como $$P(t)=P(0)e^{-(-t\ln(0.95))}=e^{t\ln(0.95)}=P(0)(0.95)^t.\tag{2}$$

Nota que podríamos haber obtenido la forma $P(t)=P(0)(0.95)^t$ mucho más rápido. Por cada hora que pasa, la población se multiplica por $0.95$.

Cuando han transcurrido $d$ días, han transcurrido $24d$ horas. Coloca $t=24d$ en cualquiera de las versiones de $(2).$

Answer 2

El número de horas en $d$ días es $24d$, por lo que la población se multiplica esa cantidad de veces por $0.95$. Por lo tanto, $$ P(d) = 6\cdot10^9\cdot 0.95^{24d} $$ donde $d$ es el número de días.

No necesitas $e$ hasta que hables de tasas de cambio instantáneas, es decir, derivadas. Entonces tienes $$ 0.95 = e^{\ln0.95} $$ así que $$ P(d) = 6\cdot10^9\cdot e^{24(\ln0.95)d}. $$