¿Cómo evaluar el límite de multifactorial $\lim_{n\to 0} \sqrt[n]{n!!!!\cdots !}$

Question

Es bien conocido que $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n!}=\infty$, sin embargo, si dejamos que $n\to 0$ obtenemos un resultado diferente con una hermosa combinación de $e$ y $\gamma$, que es

$$\lim_{n\to 0}\sqrt[n]{n!}= e^{-\gamma}\tag{1}\label{1}$$

Para demostrar el resultado \eqref{1}, observamos que el límite toma la forma de $1^{\infty}$, por lo que podemos escribirlo como $$\lim_{n\to 0} \exp\left(\frac{\ln\Gamma(n+1)}{n}\right)\underbrace{=}_{\text{regla de L'Hopital}}\lim_{n\to 0} e^{\Gamma'(n+1)}=e^{\psi_0(1)}= e^{-\gamma}$$

Ahora deseo conocer el límite de la siguiente forma multifactorial para $k\in\mathbb {Z^+}$

$$\lim_{n\to 0}\sqrt[n]{n\smash[b]{\underbrace{!! !!\cdots !}_{k}}}={?}\tag{2}\label{2}\\$$

Para $k=1$ ya lo hemos hecho arriba y para $k=2$ obtenemos el límite $\sqrt{2} e^{-\frac{\gamma}{2}}$. Para demostrar esto usamos el argumento del factorial doble (ver ecuación (5)) \begin{align}\lim_{n\to 0}\sqrt[n]{n!!}&=\lim_{n\to 0} \left(2^{\frac{n}{2}+\frac{1-\cos(\pi n)}{4}}\pi^{\frac{\cos(\pi n)-1}{4}}\Gamma\left(1+\frac{n}{2}\right)\right)^{\frac{1}{n}}\\&=\sqrt{2}\lim_{n\to 0} \sqrt[n]{\Gamma\left(1+\frac{n}{2}\right)}\\&=\sqrt 2\exp\lim_{n\to 0}\left(2^{-1} \Gamma\left(1+\frac{n}{2}\right)\psi_0\left(1+\frac{n}{2}\right)\right)\tag{regla de L'Hopital}\\&=\sqrt{2}e^{-\frac{\gamma}{2}}\end{align}

dado que para $k=1,2$ hemos evaluado el límite. ¿Cómo evaluar el límite de la ecuación \eqref{2} para todos los $k>2$?

Answer 1

La tarea principal en este problema es construir una continuación analítica de la función multifactorial $$n!^{(k)}=n(n-k)(n-2k)\cdots$$ sobre los números reales. En el conjunto de enteros, podemos aprovechar la aritmética de módulo para llegar a $$n!^{(k)}_i=i\cdot k^{(n-i)/k}\frac{\Gamma(1+n/k)}{\Gamma(1+i/k)}$$ que está definida siempre que $n\equiv i\pmod k$. Por lo tanto, necesitamos encontrar una función que interpole los valores de $$1,\frac{k^{-1/k}}{\Gamma(1+1/k)},\frac{2k^{-2/k}}{\Gamma(1+2/k)},\cdots,\frac{(k-1)k^{-(k-1)/k}}{\Gamma(1+(k-1)/k)}$$ por lo que consideramos la conjetura $$f(x)=\prod_{i=1}^{k-1}\left(\frac{ik^{-i/k}}{\Gamma(1+i/k)}\right)^{g(x)}$$ donde $g(x)\equiv1$ cuando $x-i\equiv0\pmod k$ y es cero en otro caso. Esto sugiere la función analítica $$\frac{\sin(\pi(x-i))}{k\sin(\pi(x-i)/k)}$$ que desafortunadamente es negativa cuando $(x-i)/k$ es un entero impar. Podemos evitar esto introduciendo un factor de $\cos(\pi(x-i)/k)$ ya que su signo coincide con el de la función anterior cuando $x-i\equiv0\pmod k$. De esta manera, podemos extender la función multifactorial a los reales mediante $$x!^{(k)}=k^{x/k}\Gamma\left(1+\frac xk\right)\prod_{i=1}^{k-1}\left(\frac{ik^{-i/k}}{\Gamma(1+i/k)}\right)^{\sin(\pi(x-i))\cot(\pi(x-i)/k)/k}\tag1$$ Vale la pena señalar que esto no es único, ya que podemos multiplicar por un factor de $\cos(j\pi(x-i)/k)$ para algún entero $j$ — aquí simplemente tomamos $j=1$. Ahora podemos determinar el límite considerando cada término por separado \begin{align}\lim_{x\to0}x!^{(k)/x}&=k^{1/k}\lim_{x\to0}\exp\left(\frac{\log\Gamma(1+x/k)}x\right)\lim_{x\to0}\prod_{i=1}^{k-1}\left(\frac{ik^{-i/k}}{\Gamma(1+i/k)}\right)^{\sin(\pi(x-i))\cot(\pi(x-i)/k)/kx}\\&=k^{1/k}e^{-\gamma/k}\prod_{i=1}^{k-1}\left(\frac{ik^{-i/k}}{\Gamma(1+i/k)}\right)^{h(k)}\end{align} donde \begin{align}h(k)&=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(\pi(x-i))\cot(\pi(x-i)/k)}{kx}=-\cot\frac{\pi i}k\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\pi x\cos\pi i}{kx}\\&=-(-1)^i\frac\pi k\cot\frac{\pi i}k.\end{align} Usando esta definición de $g(x)$, el límite se evalúa como $$\lim_{x\to0}x!^{(k)/x}=\left[\frac k{e^\gamma}\prod_{i=1}^{k-1}\left(\frac{\Gamma(1+i/k)}{ik^{-i/k}}\right)^{\pi(-1)^i\cot\frac{\pi i}k}\right]^{1/k}.$$ Es importante notar que la función multifactorial en $(1)$ puede extenderse al plano complejo. Es holomorfa en todas partes excepto en los múltiplos enteros negativos de $k$, similar a la función gamma.