Cómo calcular la raíz cuadrada negativa de una matriz

Question

Tengo una matriz cuadrada llamada A. ¿Cómo puedo encontrar $A ^ {-1/2}$? ¿Debo computar $a_{ij} ^ {-1/2}$ para todos sus elementos?

Gracias

Answer 1

$A=SDS^{−1}$, y $A^k=SD^kS^{−1}$ donde D es la matriz diagonal compuesta de los valores propios, S es la matriz de vectores propios, y $S^{−1}$ es la inversa de S.
Así que el primer paso es encontrar los valores propios, y luego encontrar los vectores propios correspondientes.
Luego usar $A^{1/2}=SD^{1/2}S^{-1}$, y finalmente encontrar la inversa $A^{-1/2}=(A^{1/2})^{-1}$

Answer 2

Primero necesitarás elegir una rama de la función de raíz cuadrada sobre el campo al que pertenecen los elementos de tu matriz. Una vez que hayas hecho eso,

1. Si $A$ es diagonalizable puedes hacer lo que @Annalise escribe.

2. Si $A$ es ortogonalmente diagonalizable puedes hacer lo que @Junning Li escribe.

Sin embargo, por ejemplo, si $A$ no es diagonalizable, tal vez aún se pueda poner en alguna forma canónica:

$$A = TCT^{-1}$$

Donde $C$ puede ser una matriz de bloque diagonal. En este caso, podemos hacer la raíz cuadrada aproximada intentando alguna expansión en serie de potencias en los bloques diagonales de $C$. Sin embargo, esto no está garantizado que tenga sentido. Dependerá mucho de la aplicación.

Answer 3

Solo existe si $A$ es invertible, es decir, $A^{-1}$ existe. Ahora esta matriz tiene que seguir ciertas propiedades, entonces se puede calcular su raíz cuadrada.

Siempre tienes la EVD a mano. Descompone la matriz $A^{-1}=U\cdot \Sigma\cdot U^t$ donde $U$ es una matriz unitaria. Verifica que $$(U\cdot \Sigma^{1/2}\cdot U^t)^2=U\cdot \Sigma^{1/2}\cdot U^t\cdot U\cdot \Sigma^{1/2}\cdot U^t=A^{-1}$$ Y $[\Sigma^k]_{ii}=[\Sigma_{ii}^k]$

Answer 4

Descomposición propia: $A = U * \Lambda * U^t$.

$A^{-1/2} = U * \Lambda^{-1/2} * U^t$.

Este método no es muy bueno para cálculos numéricos.