Fórmula general para $\int_0^{\pi/2} \tan^{\alpha}(x) dx$?

Question

Ya hay preguntas sobre cómo encontrar $\int \tan^{1/2}(x) dx$. Pero ¿cómo se deriva una fórmula general para $\int_0^{\pi/2} \tan^{\alpha}(x) dx$ (que converge si $|\alpha|<1$)?

Más detalles: Tengo que evaluar esta integral porque quiero derivar la fórmula de reflexión de Euler para funciones gamma. La integral anterior es el resultado de usar una sustitución $v=\tan^2(x)$ en $\int_0^\infty \frac{v^\beta}{1+v} dv$

Answer 1

Con $u=\tan x$, tenemos $$\int_0^{\frac \pi 2} \tan^\alpha (x)dx=\int_0^{+\infty}\frac{u^\alpha}{1+u^2}du$$ Ahora, según esta pregunta: $$\int_0^\infty \frac{x^{\alpha}dx}{1+2x\cos\beta +x^{2}}=\frac{\pi\sin (\alpha\beta)}{\sin (\alpha\pi)\sin \beta }$$ Entonces, al sustituir $\beta=\frac \pi 2$ obtenemos $$\int_0^{\frac \pi 2} \tan^\alpha (x)dx=\frac{\pi\sin(\frac {\alpha \pi}2)}{\sin(\alpha \pi)}=\frac{\pi}{2\cos(\frac{\alpha\pi}{2})}$$

Answer 2

$$ \begin{align} \int_0^{\pi/2}\tan^\alpha(x)\,\mathrm{d}x &=\int_0^\infty\frac{x^\alpha}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\tag1\\ &=\frac\pi2\csc\left(\pi\frac{\alpha+1}2\right)\tag2\\[3pt] &=\frac\pi2\sec\left(\frac{\pi\alpha}2\right)\tag3 \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: sustituir $x\mapsto\arctan(x)$
$(2)$: usar esta respuesta
$(3)$: identidad trigonométrica

Answer 3

Considera la integral $$I(a,b)=\int_0^{\pi/2}\sin(x)^a\cos(x)^b\mathrm dx,\qquad a,b>-1$$ Estableciendo $t=\sin(x)^2$: $$I(a,b)=\frac12\int_0^1t^{\frac{a-1}2}(1-t)^{\frac{b-1}2}\mathrm dt$$ Luego recordemos la definición de la función beta $$\mathrm{B}(a,b)=\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm dt=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ Usamos esto para ver que $$I(a,b)=\frac{\Gamma(\frac{a+1}2)\Gamma(\frac{b+1}2)}{2\Gamma(\frac{a+b}2+1)}$$ Por lo tanto $$\int_0^{\pi/2}\tan(x)^a\mathrm dx=\frac12\Gamma\left(\frac{1+a}2\right)\Gamma\left(\frac{1-a}2\right)$$ Luego utilizando $$\Gamma(1-s)\Gamma(s)=\frac{\pi}{\sin\pi s}$$ Se puede mostrar fácilmente que $$\Gamma\left(\frac{1+s}2\right)\Gamma\left(\frac{1-s}2\right)=\pi\sec\frac{\pi s}2$$ Entonces $$\int_0^{\pi/2}\tan(x)^a\mathrm dx=\frac\pi2\sec\frac{\pi a}2$$ Lo cual sabes que funciona para $|a|<1$.

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Esto se puede usar para demostrar que $$\int_0^{\pi/2} \log^{n}[\tan x]\mathrm dx=\frac\pi2\left(\frac{d}{da}\right)^n\sec\frac{\pi a}2\,\bigg|_{a=0}$$ O simplemente $$\int_0^{\pi/2} \tan(x)^{a}\log^{n}[\tan x]\mathrm dx=\frac\pi2\left(\frac{d}{da}\right)^n\sec\frac{\pi a}2$$ Para demostrar esto solo toma $\left(\frac{d}{da}\right)^n$ en ambos lados para un entero $n$.