¿La ecuación $f(xy) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) \pmod 2$ caracteriza a $f(x) = (q \mid x), q$ un número primo donde $(q\mid x) = 1$ si $q \mid x?

Question

Sea $f : \Bbb{Z} \to \Bbb{Z}_2$ una función tal que $f(xy) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$ y $f$ no es constante.

¿Podemos siempre escribir $f(x) = (q \mid x)$ para algún número primo $q$ (o $1$)?

La conversa es simple ya que si $f(xy) = (q \mid xy) = 1$, entonces $q \mid x$ xor $q \mid y$ xor $(q \mid x)(q\mid y)$ es igual a "$(q\mid x)$ o $(q \mid y)$". En otras palabras, $q$ divide a uno pero no a ambos o divide a ambos.

La adición o $+$ módulo $2$ actúa de la misma manera que el xor lógico cuando se trata de $0$ como falso y $1$ como verdadero. De manera similar, la multiplicación módulo $2$ actúa de la misma manera que el and lógico.

Answer 1

Un contraejemplo particular sería $$f(x):=\begin{cases}1&\text{ si }2\mid x\text{ o }3\mid x\\ 0&\text{ de lo contrario }\end{cases}.$$ Por supuesto, esto se generaliza a primos arbitrarios, y a una cantidad arbitraria de ellos.

Cada función $f$ de este tipo es de esta forma, porque la función $g(x):=f(x)+1$ satisface $$g(xy)=g(x)g(y),$$ es decir, es completamente multiplicativa. Esto significa que $g(x)$ está completamente determinado por dónde envía a los números primos, y por lo tanto también lo está $f(x)$. Escoger $f(p)=1$ o $f(p)=0$ corresponde a incluir la condición $p\mid x$ o no.

Answer 2

El mapa $f(x)=1$ satisface tu ecuación, ¡pero ciertamente no hay ningún número primo que divida a todos los $x$! ¡Así que no!