¿Por qué no es suficiente para un campo de fracciones de existir ausencia de cero divisores?

Question

Recientemente he comenzado a leer Sesgar los Campos de: la Teoría General de La División de los Anillos por Pablo Cohn.

En la página 9 escribe,

Vamos ahora a pasar a la no-conmutativa caso. La ausencia de cero divisores todavía es necesario para que un campo de fracciones de existir, pero no es suficiente. El primer contra-ejemplo fue encontrado por Malcev [37], que escribe un semigroup cuya semigroup anillo de más de $\mathbb{Z}$ es una parte integral de dominio, pero no puede ser embebido en un campo. Malcev expresó su ejemplo como una cancelación semigroup no integrado en un grupo, y promped él para pedir un anillo de $R$ cuyo valor $R^\times$ de distinto de cero elementos pueden ser incorporados en un grupo, pero que no puede ser incrustado en un campo.

El artículo citado [37] es En la inmersión de una expresión algebraica anillo en un sesgo de campo, de Matemáticas. Ann 113 (1937), 686-91. (EDICIÓN de M. S: doi: 10.1007/BF01571659, GDZ.)

Yo he tenido la suerte de encontrar esta disponible gratuitamente en internet, ni en la biblioteca. ¿Alguien tiene referencia a este documento, o al menos la parte donde Malcev muestra estas dos partes de su contra-ejemplo? Les agradecería mucho de verla. Gracias.

Answer 1

Usted puede encontrar en la mayoría de los buenos álgebra no conmutativa libros de una discusión de cómo la normal "campo de fracciones" construcción de falla en algunos no conmutativa dominios. Las palabras clave para buscar "Mineral de estado" y "derecho de Mineral de dominio". Si usted no ha tenido la suerte de descargar Cohn ejemplo, habrá muchos en estas palabras clave.

En resumen, el derecho de Mineral de condición es necesaria y suficiente para el campo normal de las fracciones de la definición de trabajo. Sin ella, puede ser imposible para sumar o multiplicar fracciones, ya que hay problemas para encontrar denominadores comunes.

Aquí es lo que quiero decir: Si lleva a cabo la normal relación de equivalencia en un esfuerzo para crear un derecho de la división de anillo de fracciones, el uso de $(x,y)\sim(w,z)$ si existe un valor distinto de cero $s$ $t$ tal que $ys=zt\neq0$$xs=wt$. Esto permite a llevar las cosas a un denominador común, pero aviso de que sólo se les permite introducir cosas en el derecho.

Suponga que desea agregar a $(a,b)+(c,d)$ donde $b,d$ son cero. Te gustaría definir como $(stuff,bd)$. Usted puede formar a $(ad,bd)\sim (a,b)$, pero usted es incapaz de formar $(bc,bd)$ porque no se puede introducir $b$ a la izquierda.

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Si usted tiene acceso a través de googlebooks o de lo contrario, Lam Conferencias sobre los Módulos y Anillos relata Mal'cev el ejemplo de un dominio que no es integrable en una división de anillo en la página 290.