¿Cómo se escribe $(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}$ en notación Leibniz?

Question

En el cuestionario de Cálculo por Spivak del 12 al 17 se nos pide que reescribamos esta ecuación en notación Leibniziana

$$(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'\big(f^{-1}(b)\big)}\text{.}$$

El libro de respuestas dice que debería escribirse así

$$\dfrac{dx}{dy}=\frac{1}{\dfrac{dy}{dx}} . \tag{1}$$

Pero, ¿no sería esta la traducción para

$$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(x)} ? \tag{2}$$

¿Cómo es que (1) es la traducción correcta? Si (1) es la traducción correcta, ¿cómo se escribiría (2) en notación Leibniziana?

Answer 1

Deja

$$y(x) = f(x) \tag{1}\label{eq1A}$$

Usando $b$ como reemplazo de $y$ se obtiene

$$x(y) = f^{-1}(y) = f^{-1}(b) \tag{2}\label{eq2A}$$

Sustituyendo \eqref{eq2A} en \eqref{eq1A} se tiene

$$y(x) = y(f^{-1}(y)) = y(f^{-1}(b)) \tag{3}\label{eq3A}$$

Recuerda que el símbolo "$'$" usado con una función significa diferenciar esa función con respecto a su argumento. Así, obtenemos de \eqref{eq2A}

$$(f^{-1})'(b) = (f^{-1})'(y) = x'(y) = \frac{dx}{dy} \tag{4}\label{eq4A}$$

más de \eqref{eq1A} y \eqref{eq3A} se obtiene

$$f'(f^{-1}(b)) = f'(x) = y'(x) = \frac{dy}{dx} \tag{5}\label{eq5A}$$

Esto significa que tenemos

$$(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'\big(f^{-1}(b)\big)} \implies \dfrac{dx}{dy}=\frac{1}{\dfrac{dy}{dx}} \tag{6}\label{eq6A}$$

Respecto a tu afirmación de

$$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(x)} \tag{7}\label{eq7A}$$

nota que estás usando el mismo argumento, es decir, $x$ tanto para una función como para su inversa en la misma expresión. Esto realmente no funciona. Sin embargo, si intentaras implementarlo en notación leibniziana, podría ser algo así

$$\frac{dx}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dx}} \tag{8}\label{eq8A}$$