A veces veo las preguntas contestadas en MathOverflow de tal manera que yo no entiendo muy bien las respuestas. A veces puedo trabajar de lo que significan, y otras veces no puedo. Me gustaría pedir más aclaraciones, pero las respuestas son a menudo de años atrás, y el hecho de que las cosas que me confundan son de por sí supone que las respuestas a la pregunta indica que las preguntas adicionales que no están en un nivel suficiente para MathOverflow.
Así que pensé que podría intentar pedir una de tales preguntas aquí, sólo para ver qué pasa.
En http://mathoverflow.net/questions/21651/cohomology-of-flag-varietiesAllen Knutson dice lo siguiente de un compacto de Lie del grupo de $K$ con la máxima torus $T$:
$$H^*_T(K/T) = H^*_{T \times T}(K) = H^*_{T×K×T}(K\times K) = H^∗_{K}(K/T×K/T) = H^*_K(K/T) \otimes_{H^*(BK)} H^*_K(K/T).$$
El equivariant cohomology $H^*_G(X)$ puede ser pensado, y a veces se define como, la singular cohomology de la homotopy cociente $X_G = (EG \times X)/G$ donde $X$ $G$- espacio, $EG$ es el espacio total de una entidad de seguridad universal $G$-bundle, y la acción que estamos quotienting es la diagonal de la acción $g\cdot(e,x) = (eg^{-1},gx)$.
Si la acción de $G$ $X$ es gratis, el homotopy cociente es homotopy equivalente al regular cociente: $X_G \simeq X/G$. Dadas estas definiciones, ¿cómo puedo ver Knutson del isomorfismo de la cadena?
La primera isomorfismo parece estar dado por dejar que el nuevo $T$ factor de actuar en $K$ por derecho de multiplicación, por lo que el total de la acción es $(t_1,t_2)\cdot k = t_1kt_2^{-1}$, y a continuación, utilizando el homotopy equivalencia anterior.
La segunda parece estar dado por la interposición de un nuevo $K$ factor que se ha de quotiented a cabo por un nuevo $K$-acción: $(t_1,k,t_2)\cdot (k_1,k_2) = (t_1k_1t_2^{-1},kk_2)$.
La última isomorfismo viene de un equivariant Künneth teorema, e implica, a mis ojos, que la acción de la $K$ $K/T \times K/T$ está dado por $k\cdot(k_1T,k_2T) = (kk_1T,kk_2T)$.
Por otro lado, la penúltima homotopy equivalencia sería ingenuamente parecen ser dada por quotienting de cada factor por una $T$, por lo que la acción de la $T \times K \times T$ $K \times K$ debe ser dado por $(t_1,k,t_2)\cdot(k_1,k_2) = (kk_1t_1^{-1},kk_2t_2^{-1})$.
Pero esto no está de acuerdo con la otra acción que yo había adivinado en $K \times K$. Tal vez lo que me estoy preguntando es este:
Hay una evidente auto-homeomorphism de $K \times K$ $(T \times K \times T)$- equivariant en el sentido de que toma la acción a la otra? En su defecto, ¿cuál es algunos otros homotopy equivalencia entre los cocientes?
Lo que trató de hacer esto con la correspondiente "equivariant-cohomology" de la etiqueta, pero me falta la reputación necesaria para crear.
