Encontrar un espacio vectorial $X$; de modo que las operaciones en el espacio vectorial no sean continuas

Question

¿Cómo elegir $X$ para que sea un espacio vectorial complejo con una topología $\tau$ en $X$; de modo que las operaciones del espacio vectorial no sean continuas con respecto a $\tau$; es decir, que los mapeos, $X\times X \to X: (x,y)\mapsto x+y$ y $\mathbb C \times X : (\alpha, x)\mapsto \alpha x$ no sean continuos?

Answer 1

Un ejemplo concreto, inspirado en comentarios: define la métrica $$ d(z,w) = \begin{cases}|z-w|, \quad &\text{ si } |z|,|w| \le 1 \text{ o } z=w \\ |z-w| + 1 & \text{ de lo contrario} \end{cases} $$ Es fácil verificar la desigualdad triangular. La multiplicación $z\mapsto 2z$ no es continua porque, por ejemplo, $1-1/n \to 1$ pero $2-2/n\not\to 2$. Similar para la suma, como $z\mapsto z+1$.