Dado un sumatorio cíclico en 3 letras igual a $1$, deduce el valor de otro sumatorio cíclico.

Question

Si $$ \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{a+c} + \dfrac{c}{a+b} = 1 $$ entonces $$ \dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{a+c} + \dfrac{c^2}{a+b} = \;? $$

Intenté manipular la ecuación anterior usando algunas propiedades como $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+ac+bc)$ o $$ \dfrac{a(a+c)(a+b)+b(b+c)(a+b)+c(b+c)(a+c)}{(b+c)(a+c)(a+b)} = 1. $$ Pero no tuve éxito.

Answer 1

Por supuesto, tenemos $$ \frac{a^3 + abc + b^3 + c^3}{(a + b)(a + c)(b + c)}=0. $$ El segundo término es igual a $$ \dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{a+c} + \dfrac{c^2}{a+b} =\frac{(a^3 + abc + b^3 + c^3)(a+b+c)}{(a + b)(a + c)(b + c)} $$ Entonces es igual a cero.