¿Variedad suave no metrizable?

Question

¿Es posible encontrar una variedad suave en la que sea imposible definir una función métrica?

Answer 1

Depende de la definición de una variedad suave $M$. Normalmente se requiere que $M$

1) sea Hausdorff,

2) sea contable por segunda vez,

3) tenga un atlas suave.

El requisito "mínimo" para una variedad suave sería 3), pero obviamente 1) es una condición necesaria para la existencia de una métrica. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Hausdorff_manifold para ejemplos de variedades no Hausdorff.

Que 2) sea necesario para la existencia de una métrica es menos evidente. Como contraejemplo, tomar la línea larga https://en.wikipedia.org/wiki/Long_line_(topology).

Si se cumplen 1) - 3), entonces los comentarios de deb y Aleksandar Milivojevic muestran que $M$ es metrizable.