Prueba de que las derivadas del lado derecho y del lado izquierdo siempre existen para funciones convexas.

Question

Definición

Una función $f$ es cóncava en un intervalo si para $a, x \text{ y } b$ en el intervalo con $a \lt x \lt b$, tenemos

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \lt \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Mientras leía la prueba de que si $f$ es cóncava en algún intervalo abierto que contiene a $a$, entonces $f_+'(a)$ y $f_{-}'(a)$ siempre existen. La prueba primero muestra que $[f(a+h)-f(a)]/h$ está disminuyendo a medida que $h \to 0^+$, por lo que $$f_+'(a)=\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}= \inf \{ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} : h \gt 0 \}.$$

La prueba afirma que este ínfimo existe porque cada cociente $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ para $h \gt 0$ es mayor que cualquier cociente de este tipo para $h' \lt 0$.

Sin embargo, estoy teniendo dificultades para demostrar esta desigualdad, que para cualquier $h \gt 0$ y $h' \lt 0$, tenemos

$$\frac{f(a+h')-f(a)}{h'} \lt \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Agradecería mucho si alguien puede ayudarme a demostrar esta desigualdad.

Answer 1

Nota: No asumo estricta convexidad, por lo que uso desigualdades débiles. Para $f$ estrictamente convexa, todas las desigualdades entre expresiones de la forma $\frac{f(y) - f(x)}{y-x}$ son estrictas.

Tenemos

\begin{align} \frac{f(b) - f(a)}{b-a} &= \frac{\bigl(f(b) - f(x)\bigr) + \bigl(f(x) - f(a)\bigr)}{b-a}\\ &= \frac{b-x}{b-a}\cdot\frac{f(b) - f(x)}{b-x} + \frac{x-a}{b-a}\cdot\frac{f(x) - f(a)}{x-a}\\ &= \lambda\cdot\frac{f(b) - f(x)}{b-x} + (1-\lambda)\cdot\frac{f(x) - f(a)}{x-a}, \end{align}

donde $0 < \lambda = \frac{b-x}{b-a} < 1$.

Por la condición de convexidad

$$\frac{f(x) - f(a)}{x-a} \leqslant \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$

entonces se sigue que

$$\frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leqslant \frac{f(b) - f(x)}{b-x}$$.

Eso se cumple para cualquier tres puntos $a < x < b$ en el intervalo en el que $f$ es convexa.

Ahora aplica la cadena de desigualdades a $u = a+h',\, v = a,\, w = a+h$ para obtener

$$\frac{f(a+h') - f(a)}{h'} \leqslant \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.$$

Answer 2

Voy a sugerirte que pienses geométricamente aquí (lo que incluye dibujar un dibujo): Supongamos que $A,B,C$ son puntos en el plano con $A$ a la izquierda de $B$ y $B$ a la izquierda de $C.$ La primera desigualdad que mencionas es de la forma $s(A,B) \le s(A,C),$ donde $s$ denota la pendiente. ¿Cómo podría ser esto cierto a menos que $B$ esté en o debajo de la línea que pasa por $A$ y $C?$ Y si $B$ satisface eso, ¿no sigue de ahí que $s(A,B) \le s(B,C)?$ La última desigualdad es lo que estás intentando probar. Así que esto es transparente geométricamente; "solo" tienes que traducir esta imagen en un poco de análisis.