I) Si puedes probar $a\equiv b$ y $j \equiv k$ entonces $aj \equiv bk$ y $a+j \equiv b+k$ ya has terminado.
Por inducción puedes probar que si $a_i \equiv b_i$, y $a_1 + .... + a_m \equiv b_1 + .... + b_m$ entonces $(a_1+ ......+a_m) + a_{m+1} \equiv (b_1 + .... + b_m) + b_{m+1}$ por lo que el resultado se mantiene para todas las sumas sin importar cuántos sumandos haya.
De manera similar para productos sin importar cuántos factores haya.
Y si es cierto para productos, entonces es cierto para potencias que son simplemente productos donde todos los factores son iguales.
Y si es cierto para productos, entonces es cierto para polinomios que son una suma de productos de coeficientes y potencias.
ii) aplicar i)
Si $a \equiv b \pmod p$ entonces $0\equiv p = f(a)\equiv f(b) =q\pmod p$. Entonces $q \equiv 0 \pmod p$ entonces $p|q$. Pero $q$ es primo. Entonces $p=q$.
iii) No estoy seguro si estoy entendiendo su pista.
Supongamos que $f(n)$ es primo para todos los enteros $n$.
Pero una de las siguientes afirmaciones debe ser cierta:
1) $f(n)$ nunca es primo para ningún entero $n$.
Si es así, no tenemos nada que demostrar.
2) Existe exactamente un primo $p$ al cual $f(n)$ es igual alguna vez.
A medida que $n\to \infty$ tenemos que $f(n)\to \infty$ por lo que $f$ tiene más de un valor. Por lo tanto, algunos valores no son $p$ y como $p$ era el único primo, algunos valores no son primos.
3) Existe un $a$ y un $b$ tal que $f(a)=p$ un primo y $f(b)=q$ un primo que no es igual a $p$ entonces por la Teoría de Bézout hay $Mp + Nq = a-b$ entonces $b +Nq = a-Mp$. Sea $k=b+Nq=a-Mp$
Entonces por ii) si $f(k)$ es primo entonces $f(b+Nq) =q$ pero si $f(k)$ es primo entonces $f(a-Mp)=p$ así que eso es una contradicción.
Por lo tanto $f(k)$ no es primo.
Entonces siempre habrá un valor, $k$ donde $f(k)$ no es primo.
