¿Para cuántos enteros existe una función polinómica?

Question

¿Para cuántos valores enteros de $b$ existe una función polinómica con coeficientes enteros tal que $f(2) = 2010$ y $f(b) = 8

?

Answer 1

Si f es un polinomio con coeficientes enteros, y a y b son enteros, entonces a - b siempre divide a
f(a)−f(b)

es decir, $\frac{f(a) - f(b)}{a-b}$ = k ; k es un entero

Sea a=2

por lo tanto, $\frac{2010 - 8}{2-b}$ = k

$\frac{2002}{2-b}$ = k

Esto implica que b = $\frac{2k-2002}{k}$

Todos los valores de k que satisfacen la condición anterior y hacen que b sea un entero son nuestra solución.