Dickson/polimorfismo tipo determinante (actualizado)

Question

Para $2\leq \ell \leq k$, considera el polinomio \begin{equation} P_{k,\ell} = \prod_{1\leq a_1+\ldots+a_k\leq \ell} (a_1x_1+\ldots + a_kx_k)\in \mathbb{F}_2[x_1,\ldots, x_k] \end{equation>

que consiste en todos los productos de todas las formas lineales no nulas $a_1x_1+\ldots +a_kx_k$, de las cuales a lo sumo $\ell$ de cuyos coeficientes son distintos de cero.

Ahora, deja que \begin{equation} \alpha_j = \sum_{i=0}^{\ell-1}\binom{j-1}{i},

y

\begin{equation} D_{k,\ell}= \det \begin{pmatrix} x_1^{\alpha_1} & \cdots & x_k^{\alpha_1} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x_1^{\alpha_k} & \cdots & x_k^{\alpha_k} \end{pmatrix} = \sum_{\sigma \in S_k} x_{\sigma(1)}^{\alpha_1} x_{\sigma(2)}^{\alpha_2}\cdots x_{\sigma(k)}^{\alpha_k}, \end{equation}

donde $S_k$ es el grupo simétrico.

(Nota que $\alpha_{1}=1$, y asumimos como es usual que $\binom{a}{b}=0$ si $a

Pregunta: Es un hecho clásico que $D_{k,\ell}=P_{k,\ell}$ cuando $\ell =2, k$. ¿Es cierto que, para $\ell$ arbitrario $2\leq \ell \leq k$, $D_{k,\ell}$ es $P_{k,\ell}$ más (posiblemente) algunos términos adicionales?

Answer 1

¿Es esto cierto? Sage no está de acuerdo:

P. = PolynomialRing(GF(2))
xs = P.gens()
M = Matrix(P, [[xs[i] ** (1 + binomial(j, 1) + binomial(j,2)) for j in range(4)] for i in range(4)])
M.determinant().factor()

devuelve

d * c * (c + d) * b * (b + d) * (b + c) * a * (a + d) * (a + c) * (a + b) * (a^3*b + a^2*b^2 + a*b^3 + a^3*c + b^3*c + a^2*c^2 + b^2*c^2 + a*c^3 + b*c^3 + a^3*d + b^3*d + a*b*c*d + c^3*d + a^2*d^2 + b^2*d^2 + c^2*d^2 + a*d^3 + b*d^3 + c*d^3)

Esto tiene todos los factores correctos con $1$ o $2$ sumandos (lo cual no es sorpresa), pero el factor restante de grado-$4$ no se factoriza como quieres. Para comparación, el producto de los factores con $3$ sumandos debería ser

P.prod([P.sum(xs)-r for r in xs])

que es

a^3*b + a*b^3 + a^3*c + b^3*c + a*c^3 + b*c^3 + a^3*d + b^3*d + a*b*c*d + c^3*d + a*d^3 + b*d^3 + c*d^3

En general, creo que puedes aprender algo sobre estos polinomios de: I. G. Macdonald, Schur functions: Theme and variations, Séminaire Lotharingien de Combinatoire 1992, volume 28, page B28a (específicamente, la 7ª variación, la cual no asume mucha familiaridad con las anteriores). Pero no esperes fórmulas explícitas más allá de los casos $\ell = 2$ y $\ell = k$.

Answer 2

Para un dado $\sigma\in S_{k}$, el coeficiente de $x_{\sigma(1)}^{\alpha_1} x_{\sigma(2)}^{\alpha_2}\cdots x_{\sigma(k)}^{\alpha_k}$ en $P_{k,l}$ es 1. Por lo tanto, $D_{k,l}$ es $P_{k,l}$ más (posiblemente) algunos términos adicionales.