Dimensión proyectiva en una secuencia exacta corta

Question

Sea $0 \to B \to P \to A \to 0$ una sucesión exacta corta de módulos $R$ con $P$ proyectivo. Por dimensión proyectiva de un módulo, me refiero a la longitud de la resolución proyectiva más corta del mismo. Una afirmación de Passman, Un curso en Teoría de Anillos, p76 dice que si $pd A = n > 0$, entonces $pd B = n-1$.

Para ver esta igualdad, asumo que $pd A = a$ y $pd B = b$. Entonces existe una resolución proyectiva de $B$ tal que

$$ 0 \to P_b \to P_{b-1} \to \ldots \to P_1 \to P_0 \to B \to 0 $$

Aquí, utilizando la primera sucesión exacta corta dada, puedo obtener una resolución proyectiva de $A$ tal que

$$ 0 \to P_b \to P_{b-1} \to \ldots \to P_1 \to P_0 \to P \to A \to 0 $$

y por lo tanto concluyo que $a \leq b+1$. No logro ver la otra desigualdad: $b+1 \leq a$. Intenté escribir una resolución proyectiva de $A$ de longitud $a$ y usar el teorema de comparación pero aún no logro ver la desigualdad. Cualquier comentario sería de gran ayuda.

Además, ¿alguien podría dar un ejemplo de una resolución proyectiva que no sea minimal?

Answer 1

Supongamos que $B$ tiene una resolución proyectiva $$0\to Q_b\to Q_{b-1}\to\cdots\to Q_1\to Q_0\to B\to0.$$ Esto se descompone en secuencias exactas cortas $$0\to B_{i+1}\to Q_i\to B_i\to0$$ con $B_0=B$ y $B_{b+1}=0$.

Hagamos lo mismo con una resolución proyectiva de $A$: $$0\to P_a\to P_{a-1}\to\cdots\to P_1\to P_0\to A\to0$$ se descompone en secuencias exactas cortas $$0\to A_{i+1}\to P_i\to A_i\to0$$ con $A_0=A$ y $A_{a+1}=0$.

Aplicando el lema de Schanuel a $$0\to B\to P\to A\to 0$$ y $$0\to A_1\to P_0\to A\to 0$$ obtenemos $$P\oplus A_1\cong P_0\oplus B.$$ Ahora aplicamos Schanuel a $$0\to P_0\oplus B_1\to P_0\oplus Q_0\to P_0\oplus B\to 0$$ y $$0\to P\oplus A_2\to P\oplus P_1\to P\oplus A_1\to 0$$ para obtener $$P_0\oplus Q_0\oplus P\oplus A_2\cong P\oplus P_1\oplus P_0\oplus B_1.$$ Resumiré esto como $$\text{proyectivo}\oplus A_2\cong\text{proyectivo}\oplus B_1.$$ Iterando este argumento obtenemos $$\text{proyectivo}\oplus A_{j+1}\cong\text{proyectivo}\oplus B_j.$$

Ahora $B_b$ es proyectivo, entonces $\text{proyectivo}\oplus A_{b+1} =\text{proyectivo}$. Luego $A_{b+1}$ es proyectivo, por lo que la resolución para $A$ termina en $A_{b+1}$ (o antes). Entonces $a\le b+1$.

Answer 2

La afirmación clave es que, si $M$ tiene dimensión proyectiva $n$, entonces cualquier resolución proyectiva incompleta de longitud $k puede ser extendida a una de longitud $n$. De hecho, tomemos una resolución incompleta $P_k\to P_{k-1} \to \cdots \to P_0\to 0$ de $M$, y resolvamos el núcleo del primer mapa para obtener una resolución de $M$. Basta con mostrar que el núcleo $K_n$ de $P_{n-1} \to P_{n-2}$ es proyectivo, para obtener una resolución proyectiva. Pero, por desplazamiento de dimensión, $\mathrm{Ext}^1(K_n,-) \simeq \mathrm{Ext}^{n+1}(M,-)=0$, ya que $M$ tiene dimensión proyectiva $n$. Esto muestra que $K_n$ es proyectivo.