Encontrar dependencias de modo que $0 > \frac{2b^2r^2}{z}-\left(2r ^2-2br\sqrt{1-\frac{b^2}{z^2}}\right)z$

Question

Estoy tratando de resolver una desigualdad con 3 variables.

$$0 > \frac{2 b^2 r^2}{z} - \left(2 r ^2 - 2 b r \sqrt{1 - \frac{b^2}{z^2}}\right) z$$

Básicamente, quiero saber bajo qué dependencias la fórmula es menor que cero.

Intenté transformarla de muchas maneras, pero parece que no puedo obtener un buen resultado. Especialmente la raíz parece causar problemas:

$$2r^2z - 2brz \sqrt{1 - \frac{b^2}{z^2}} > \frac{2b^2r^2}{z} \tag{1}$$ $$rz - bz \sqrt{1 - \frac{b^2}{z^2}} > \frac{b^2r}{z} \tag{2}$$ $$r - b \sqrt{1 - \frac{b^2}{z^2}} > \frac{b^2r}{z^2} \tag{3}$$

Sé que todas las variables son > 0. Entonces: $$r > 0 \qquad b > 0 \qquad z > 0$$ También sé que $$b \leq z$$ ¿Tienes alguna pista de qué puedo intentar? ¿Crees que es posible calcular una solución buena, en qué relación tienen que estar las 3 variables para que la fórmula sea negativa?

Muchas gracias.

Answer 1

La forma habitual de deshacerse de las raíces cuadradas es elevar al cuadrado ambos lados. Por supuesto, esto aumenta los grados, pero al menos elimina la raíz. Reescribe la última desigualdad como $$r-{b^2r\over z^2}< b\sqrt{1-{b^2\over r^2}}\tag{1}$$ Ahora el lado derecho es no negativo, por lo que la primera posibilidad a comprobar es que el lado izquierdo sea negativo. Dado que $r>0,$ $$r-{b^2r\over z^2}<0\implies 1-{b^2\over z^2}<0,$$ lo cual es imposible, ya que la raíz cuadrada en $(1)$ no tendría sentido. Por lo tanto, el lado izquierdo de $(1)$ es no negativo, y $(1)$ es equivalente a la desigualdad que obtenemos al elevar al cuadrado ambos lados: $$ \left(r-{b^2r\over z^2}\right)^2< b^2\left(1-{b^2\over r^2}\right)$$

Esto debería ser más sencillo de trabajar. Te sugiero que empieces por eliminar denominadores.

Answer 2

La solución final resulta ser muy buena, así que sospecho que este es un problema de tarea. Por lo tanto, solo te daré un esquema. $$0 < \frac{2 b^2 r^2}{z} - \left(2 r ^2 - 2 b r \sqrt{1 - \frac{b^2}{z^2}}\right) z$$ Simplificando términos, dividiendo ambos lados por $z$, dejando $\frac{b}{z}=\alpha$ y llevando la raíz cuadrada a un lado, $$b \sqrt{1 - \alpha^2} > r-r\alpha^2$$ Ahora solo factoriza la raíz cuadrada de ambos lados y luego eleva al cuadrado ambos lados. Deberías terminar con $$a^2+b^2>r^2$$

Answer 3

Se recuerda que $b=z$ viola la desigualdad estricta (el lado derecho se convierte en cero). En consecuencia, tenemos $0, lo que nos permite escribir

**

$$b=z \sin\theta \tag{1}$$

para algún $0^\circ < \theta < 90^\circ$. Entonces la raíz cuadrada se reduce inmediatamente a $\cos\theta$, y su desigualdad se simplifica a $$0 > 2 r^2 z \sin^2\theta - z \left( 2 r^2 - 2 r z \sin\theta\cos\theta \right) \quad\to\quad 0 > 2 r z \cos\theta\;(z\sin\theta - r \cos\theta) \tag{2}$$ Ahora, dado que $z$, $r$, $\cos\theta$ son estrictamente positivos, $(2)$ implica $0 > z \sin\theta - r\cos\theta$, de manera que

$$r > z \tan\theta \tag{3}$$

**