Evalue $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{n+\sqrt{k}}$

Question

Evaluar $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{n+\sqrt{k}}$$

Traté de escribir la suma anterior como $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}} + \frac{1}{n+\sqrt{n+1}}+\dotsb+\frac{1}{n+\sqrt{2n}}$$ Ahora, si resuelvo el límite, el resultado es $0$, pero obviamente está mal. Creo que es porque es una suma infinita de factores que tienden a cero, pero podría ser que la suma tienda a infinito más rápido que los factores, por lo que el resultado no es cero. Sin embargo, no sé cómo resolverlo. ¿Algún consejo?

Answer 1

Para $1\le n\le k\le2n$ tenemos

$$n+1\le n+\sqrt{k}\le n+\sqrt{2n}\le n+1+\sqrt{2n+2}$$

por lo tanto

$${1\over1+\sqrt{2\over n+1}}={n+1\over n+1+\sqrt{2n+2}}\le\sum_{k=n}^{2n}{1\over n+\sqrt k}\le{n+1\over n+1}=1$$

El Teorema del Sándwich hace el resto.

Answer 2

$\frac{1}{n +\sqrt{k}} \leq \frac{1}{n}$, por lo que la suma está acotada por arriba por $\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \ldots \frac{1}{n} = 1 $

Answer 3

Esta suma es $$1+\frac{1}{n}-\sum_{k=n}^{2n}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+\sqrt{k}})\approx 1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\sum_{k=n}^{2n}\sqrt{k}\approx 1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\int_n^{2n}x^{-1/2}dx\in 1+\mathcal (\frac{1}{n}).$$

Answer 4

Utilice el "teorema del sándwich": $\displaystyle{n + 1 \over n + \,\sqrt{\,2n\,}\,} < \sum < {n + 1 \over n + \,\sqrt{\,n\,}\,}$.

Answer 5

Escribí un pequeño código en Python para calcular esta suma para valores específicos de $n$, para ver hacia dónde se dirige el límite de $n \to \infty$:

import math

def limit(n):
    s = 0
    for i in range(n,2\*n+1):
        s += 1/(n+math.sqrt(i))
    return s

for a in range(1,10001):
    print "n = " + str(a) + " | limit = " + str(limit(a))

print "n = 1000000 | limit = " + str(limit(1000000))
print "n = 10000000 | limit = " + str(limit(10000000))

Su resultado fue

n = 1 | limit = 0.914213562373
n = 2 | limit = 0.810842411245
n = 3 | limit = 0.785811290103
n = 4 | limit = 0.778993834934
n = 5 | limit = 0.778479980466
n = 6 | limit = 0.780536268748
n = 7 | limit = 0.783702898
n = 8 | limit = 0.787331118896
n = 9 | limit = 0.791109376332
n = 10 | limit = 0.794881504095

$\vdots$

n = 9990 | limit = 0.988051600225
n = 9991 | limit = 0.988052185976
n = 9992 | limit = 0.988052771641
n = 9993 | limit = 0.988053357219
n = 9994 | limit = 0.988053942711
n = 9995 | limit = 0.988054528116
n = 9996 | limit = 0.988055113434
n = 9997 | limit = 0.988055698666
n = 9998 | limit = 0.988056283811
n = 9999 | limit = 0.988056868869
n = 10000 | limit = 0.988057453841
n = 1000000 | limit = 0.998783545517
n = 10000000 | limit = 0.99961478362

A partir de esto, parece acercarse lentamente a $1$.