¿Existe un "Teorema de No Hay Almuerzo Gratis" para la Aproximación Polinómica?

Question

En la búsqueda y optimización, existe un (conjunto de) teorema(s) popular(es) llamado(s) el "Teorema(s) Sin Almuerzo Gratis". Los autores de este teorema lo describen como "para cualquier algoritmo, cualquier rendimiento elevado sobre una clase de problemas se ve compensado por el rendimiento sobre otra clase" (https://ieeexplore.ieee.org/document/585893). Estos teoremas tienen interpretaciones importantes en muchos campos aplicados como el Aprendizaje Automático. Desde la perspectiva de un lego, la implicación del "Teorema Sin Almuerzo Gratis" afirma que no hay una clase de algoritmo "universalmente mejor" para todos los "tipos de problemas de optimización".

Me preguntaba si existe un tipo de teorema similar para la Aproximación Polinómica. Por ejemplo, sabemos que hay muchos métodos en matemáticas que se pueden utilizar para la aproximación de funciones - por ejemplo, Polinomios de Taylor, Polinomios de Lagrange, Polinomios de Padé, etc.

Al igual que en el caso de los algoritmos de Aprendizaje Automático, ¿se pueden hacer afirmaciones similares a las afirmadas por los "Teoremas Sin Almuerzo Gratis" con respecto a diferentes métodos de Aproximación Polinómica? Por ejemplo, ¿es posible que los Polinomios de Taylor aproximen "mejor" algunas funciones en comparación con los Polinomios de Padé; pero debido a este hecho, también podrían existir otras funciones que los Polinomios de Padé aproximen mejor que los Polinomios de Taylor? ¿O hemos sido capaces de determinar matemáticamente que algunos métodos de aproximación son "universalmente mejores" que otros métodos de aproximación para amplias clases de funciones?

¡Gracias!

Nota: Supongo que en este contexto, "mejor" puede ser cuantificado a través de propiedades como "fortaleza de convergencia", "tamaño del radio de convergencia" o propiedades del "error acotado" (por ejemplo, magnitud) - pero no estoy seguro de esto.

Answer 1

Hay muchas funciones que no pueden ser aproximadas en absoluto por polinomios. La más sencilla es probablemente

$$f(x) = |x|$$

Si realmente intentas ajustar un polinomio de Lagrange en $n = 3,5,7,9,11,13$ puntos, terminaría viéndose así:

Los polinomios no son la solución para la aproximación de funciones. Creemos que funcionan bastante bien en funciones analíticas (infinitamente diferenciables), pero "la mayoría" de las funciones en realidad son no diferenciables, como $f(x) = |x|$ lo es.

Por supuesto, en realidad, es probable que no intentes ajustar un polinomio en $|x|$, pero es razonable asumir que hay fórmulas que podrías derivar del mundo real que incluyan valores absolutos o puntos donde la función no es diferenciable.

Un buen ejemplo de esto es la superconductividad. La resistencia de los superconductores realmente cae desde un valor positivo medible hasta $0$, tan pronto como alcanza un umbral de temperatura:

Si no supieras esto e intentaras ajustar un polinomio en algunos puntos medidos de la curva roja, te decepcionarías, porque no funcionaría.

En resumen, el teorema de "No Almuerzo Gratis" sería algo así:

$\forall L > 0$, $\forall f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ no diferenciable en $a\in\mathbb{R}$ y $\lim_{x\to a+} f'(x) \ne \lim_{x\to a-} f'(x)$, entonces $\forall p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ polinomios $|\{x\in\mathbb{R}:|f(x)-p(x)|>L\}|=|\mathbb{R}|$

Lo que significa que no importa cuánto intentes aproximar tal $f$ con un polinomio $p$, siempre habrá incontables infinitos (de hecho, $\beth_1$) puntos en $\mathbb{R}$, donde $p(x)$ está arbitrariamente lejos de $f(x)$.

Esto es fácil de ver en el ejemplo del valor absoluto. Para una función $f$ con la propiedad

$$\lim_{x\to a+} f'(x) \ne \lim_{x\to a-} f'(x)$$

es "localmente una función de valor absoluto" cerca de $a$. (Para la función de valor absoluto real, el lado izquierdo es $1$, mientras que el lado derecho es $-1$.) Esto significa que incluso en el área local alrededor de $a$, no es posible aproximar $f$ con ningún polinomio.