¿Cuál es el uso actual de los espacios de Hilbert en la mecánica cuántica?

Question

Estoy aprendiendo lentamente las peculiaridades de la mecánica cuántica. Una cosa que me confunde es... mientras que (creo) entiendo el concepto, la mayoría de los textos y fuentes hablan de lo útiles que son los espacios de Hilbert/álgebra lineal en los cálculos cuánticos, cómo es el lenguaje fundamental, cómo supuestamente simplifica inmensamente los cálculos, cuando en esencialmente cada cálculo que he visto (por ejemplo, partícula en una caja, oscilador armónico, átomo de hidrógeno, etc) los espacios de Hilbert casi nunca se mencionan. Simplemente resuelven la ecuación de Schrödinger para la función de onda, luego determinan los niveles de energía y valores esperados, etc. Entiendo la premisa de los vectores de estado y demás, simplemente no veo muy bien su utilidad.

Entonces, ¿cómo juega realmente un papel el lenguaje del álgebra lineal (del cual tengo un entendimiento básico) en los cálculos más allá de parecer un formalismo redundante? ¿Podría alguien indicarme problemas en la Mecánica Cuántica donde el lenguaje del álgebra lineal se utiliza realmente para hacer cálculos y resolver problemas? ¿Quizás alguien podría mostrarme cómo se conecta uno de los problemas mencionados anteriormente?

Answer 1

Su confusión proviene de la diferencia en la forma en que se enseña matemáticas a físicos y matemáticos.

Por ejemplo, tome una expresión como $$\int_{-\infty}^\infty\mathrm dx\, |f(x)|^2.$$ Un físico empezaría inmediatamente a tratar de calcular esto usando las herramientas que conoce, pero un matemático primero haría preguntas. Esto se debe a que esta integral es en realidad un límite: $$\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-R}^R\mathrm dx\, |f(x)|^2$$ Entonces, el matemático podría preguntar ¿este límite incluso existe? Si no lo hace, podrías obtener respuestas sin sentido que cambian dependiendo de cómo tomas el límite. Todavía podrían haber otras preguntas válidas que podrías hacer, pero soy físico, así que no las conozco.

Uno de los resultados que llevó a los espacios de Hilbert es el hecho de que si $f,g$ son ambas integrables al cuadrado, es decir, $$\int_{-\infty}^\infty\mathrm dx\, |f(x)|^2\text{ es finito}$$ entonces podemos definir un producto interno dado por $$\langle f|g\rangle=\int_{-\infty}^\infty\mathrm dx f^*(x)g(x).$$ Este producto interno tiene muchas propiedades agradables que hacen que se comporte como el producto punto regular y esto nos permite usar el poder del álgebra lineal. Ver también https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space#History.

Así que hacer mecánica cuántica sin saber acerca de espacios de Hilbert es como conducir un coche sin saber cómo funciona el motor. Estarás bien la mayor parte del tiempo, pero deberías apreciar todo el trabajo duro que se ha hecho para fabricar y mantener tu coche. Pasé mi clase de MQ con solo una comprensión vaga de los espacios de Hilbert. De hecho, una de las primeras funciones de onda que aprendes es $\exp(ipx/\hbar)$ que es una autofunción del operador momento y también del Hamiltoniano de partícula libre. Esta función de onda ni siquiera es integrable al cuadrado, así que no es una solución adecuada de la partícula libre (una superposición en forma de integral lo es). Esto se suele pasar por alto y por una buena razón. Quieres aprender sobre MQ y aprender toda la teoría detrás de los espacios de Hilbert sería largo y/o confuso.