¿Cuál es el uso actual de los espacios de Hilbert en la mecánica cuántica?

Question

Estoy aprendiendo lentamente las peculiaridades de la mecánica cuántica. Una cosa que me confunde es... mientras que (creo) entiendo el concepto, la mayoría de los textos y fuentes hablan de lo útiles que son los espacios de Hilbert/álgebra lineal en los cálculos cuánticos, cómo es el lenguaje fundamental, cómo supuestamente simplifica inmensamente los cálculos, cuando en esencialmente cada cálculo que he visto (por ejemplo, partícula en una caja, oscilador armónico, átomo de hidrógeno, etc) los espacios de Hilbert casi nunca se mencionan. Simplemente resuelven la ecuación de Schrödinger para la función de onda, luego determinan los niveles de energía y valores esperados, etc. Entiendo la premisa de los vectores de estado y demás, simplemente no veo muy bien su utilidad.

Entonces, ¿cómo juega realmente un papel el lenguaje del álgebra lineal (del cual tengo un entendimiento básico) en los cálculos más allá de parecer un formalismo redundante? ¿Podría alguien indicarme problemas en la Mecánica Cuántica donde el lenguaje del álgebra lineal se utiliza realmente para hacer cálculos y resolver problemas? ¿Quizás alguien podría mostrarme cómo se conecta uno de los problemas mencionados anteriormente?

Answer 1

Creo que hay dos formas distintas en las que se podría interpretar esta pregunta, así que intentaré responder a ambas.

Interpretación 1: Estoy aprendiendo la formulación estándar de la mecánica cuántica y resolviendo problemas como la partícula en una caja. Me siento cómodo realizando todos estos cálculos, pero no entiendo por qué debo saber sobre espacios de Hilbert o álgebra lineal.

Esta es bastante sencilla. Si puedes sumar cosas, multiplicarlas por constantes y tomar productos internos, entonces esencialmente estás trabajando con un espacio de Hilbert. Las funciones de onda que puedes resolver cómodamente son elementos de ese espacio, y los operadores autoadjuntos que representan observables son aplicaciones lineales de un elemento del espacio a otro.

El álgebra lineal es simplemente el estudio de espacios vectoriales y aplicaciones lineales entre ellos, así que es en particular el trasfondo de todos los cálculos que estás realizando. Cuando resuelves una ecuación de autovalores como la ecuación de Schrödinger, estás haciendo álgebra lineal. Cuando expandes un estado genérico como una superposición de autoestados de algún observable, estás haciendo álgebra lineal. Cuando tienes la seguridad de que tal conjunto de autofunciones incluso existe y que los autovalores correspondientes son reales, es porque has aprendido el teorema espectral para operadores autoadjuntos, que es un resultado central en (lo adivinaste) álgebra lineal (o análisis funcional, que es esencialmente álgebra lineal en espacios de dimensiones infinitas).

En ese sentido, no es tanto que el álgebra lineal sea útil en la formulación estándar de la mecánica cuántica; es que la formulación estándar de la mecánica cuántica es álgebra lineal, ya sea que quieras llamarlo así o no. Asegúrate, técnicas particulares, teoremas y mentalidades generales del álgebra lineal pueden ser extremadamente útiles para realizar cálculos, construir modelos, etc., pero el hecho permanece de que, sin importar cómo lo veas, lo que estás haciendo es álgebra lineal en un espacio de Hilbert.

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$^\dagger$De hecho, esto describe lo que se llama un pre-espacio de Hilbert. Para ser un espacio de Hilbert completo, hay un requisito técnico adicional llamado completitud. A grandes rasgos, esto significa que las secuencias que "parecen que" deberían converger realmente lo hacen. Esto es importante cada vez que utilizas un límite, que aparece cuando diferencias (por ejemplo, el $\frac{d}{dt}$ en la ecuación de Schrödinger) y cada vez que expandes una función de onda como una serie infinita de autovectores de algún observable.

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Interpretación 2: Entiendo que la formulación de la mecánica cuántica que estoy aprendiendo actualmente se basa en torno al espacio de Hilbert (es decir, un espacio vectorial con un producto interno) como un concepto central, pero no entiendo por qué tal construcción proporciona la descripción correcta de la naturaleza.

Esta es una pregunta mucho más profunda. En el nivel más profundo, una teoría física no es más ni menos que un mecanismo para asignar probabilidades a los posibles resultados de las mediciones. La formulación estándar de la mecánica cuántica logra esto de una manera algo peculiar, donde ideamos una correspondencia entre propiedades medibles del sistema y aplicaciones lineales en algún espacio de Hilbert (y luego procedemos como has aprendido).

Este enfoque funciona, como se ha demostrado en muchos miles de experimentos en los últimos cien años, pero está lejos de ser obvio por qué este es el camino correcto a seguir. Algo de perspectiva se puede obtener de la formulación algebraica de la mecánica cuántica, donde el objeto central bajo consideración es la llamada álgebra de observables, cuyos elementos representan las diversas propiedades medibles de un sistema dado.

Por un lado, esto es muy bueno: estamos trabajando y refiriéndonos directamente a cosas que pretendemos medir, y en muchos casos incluso es posible obtener esta álgebra cuántica de observables mediante la manipulación adecuada de una correspondiente álgebra clásica de observables (aunque debo decir, esta última es una variedad diferente de álgebra). El inconveniente es que esta formulación de la mecánica cuántica es muy abstracta y muy sofisticada, tanto que apostaría a que la gran mayoría de físicos en actividad solo están tangencialmente conscientes de su existencia.

Afortunadamente, para aquellos de nosotros que no estamos interesados en estudiar álgebras de $C^*$ hasta que nuestros ojos sangren, hay una alternativa a esta abstracción matemática pesada. Según el teorema de Gelfand-Naimark, cualquier tal álgebra de observables puede ser concretamente realizada como operadores en algún espacio de Hilbert. De esa manera volvemos a la formulación estándar de la mecánica cuántica, pero con una perspectiva fresca: la elección aparentemente arbitraria de modelar un sistema cuántico alrededor de un espacio de Hilbert es una elección nacida no de la necesidad, sino más bien de la conveniencia, porque proporciona una realización concreta de lo que de otro modo sería una descripción terriblemente abstracta de la naturaleza.

Answer 2

La representación de Schrödinger privilegia la base de posicion para representar el estado de un sistema. Esto no es necesario, ya que la mecánica cuántica funciona en cualquier base (como la base de momento, o la base de energía), por lo que vale la pena aprender un formalismo más general que trate todas las bases de manera equitativa (por ejemplo, la notación de bra-ket de Dirac, a la que voy a referirme como "el lenguaje de operadores").

Hay varios ejemplos prácticos de maneras en las que el uso del lenguaje de operadores te brinda ventajas sobre simplemente resolver la ecuación de Schrödinger.

• El método de operador de escalera aplicado al oscilador armónico cuántico sería mi "ejemplo inicial" de una forma en la que el álgebra lineal, los espacios de Hilbert y los métodos de operadores se utilizan realmente para resolver problemas y brindarte más insights que solo la ecuación de Schrödinger.
• Otro ejemplo de la mecánica cuántica introductoria es la derivación de que el momento angular está cuantizado, que también utiliza operadores de escalera construidos a partir de las relaciones de conmutación de los operadores de momento angular.
• Como ejemplo más avanzado, puedes resolver el átomo de hidrógeno utilizando operadores de escalera y una simetría de $SO(4)$ oculta.
• Alejándonos de soluciones exactas hacia aplicaciones desordenadas del mundo real, en la teoría de perturbación degenerada (por ejemplo aplicada para calcular correcciones al espectro de Hidrógeno en un campo eléctrico aplicado), un paso clave es identificar un conjunto completo de observables que conmutan con el hamiltoniano de perturbación que se pueden utilizar para encontrar una "buena base" de estados para resolver las ecuaciones de perturbación.
• Si estudias la teoría cuántica de campos relativista, eventualmente descubrirás que la ecuación de Schrödinger en realidad no se utiliza en absoluto en los cálculos porque se vuelve demasiado engorrosa, y se necesitan otras técnicas. Lo mismo es cierto para algunas áreas de la física de la materia condensada.

También hay muchas ventajas formales.

• El principio de incertidumbre de Heisenberg se puede derivar en unas pocas líneas a partir del conmutador de los operadores de posición y momento en el lenguaje de operadores. La derivación se puede generalizar para dar una relación de incertidumbre entre cualquier dos operadores hermitianos que no conmuten.
• Las simetrías en la mecánica cuántica se pueden entender utilizando la teoría de representación de grupos de simetría en el lenguaje de operadores. Esto nos permite clasificar partículas según cómo se transforman bajo simetrías (este tipo de lógica condujo al descubrimiento de los quarks).
• En la teoría cuántica de campos relativista, las simetrías de la relatividad especial (el grupo de Poincaré) se utilizan para definir lo que se entiende por una partícula. También puedes derivar que las partículas se pueden clasificar por su masa, espín y números cuánticos internos como la carga.
• Cuando pasas a sistemas de múltiples partículas, tener un buen entendimiento de la representación de operadores es esencial. La ecuación de Schrödinger da a muchas personas una idea incorrecta de que la función de onda está definida sobre "espacio", mientras que en la imagen de operador es más claro que el estado es una función de la posición (y otros grados de libertad) de cada partícula. Esto conduce a una cantidad increíble de confusión evitable.
  • Las propiedades de las partículas idénticas también se pueden derivar de los operadores de intercambio.
  • También es importante entender que los espacios de Hilbert en los que "viven" los bosones y fermiones son diferentes al espacio de Hilbert de partículas cuánticas no idénticas porque los estados tienen que ser totalmente simétricos o anti-simétricos.
• Las matrices de densidad, que son más fáciles de definir en el lenguaje de operadores, te permiten tratar situaciones en las que hay "incertidumbre" tanto "cuántica" como "clásica" en el estado del sistema, permitiéndote tratar sistemas cuánticos a temperatura finita.
• En la notación de bra-ket, se puede demostrar la equivalencia entre la imagen de Schrödinger, la imagen de Heisenberg, imágenes intermedias (o "de interacción") y el formalismo de integral de caminos. Estas son formulaciones diferentes pero equivalentes de la mecánica cuántica que son útiles en diferentes circunstancias. Ser capaz de pasar de una a otra es una habilidad esencial a medida que te vuelves más avanzado, y sería muy difícil sin el lenguaje de operadores y de espacios de Hilbert.

Esta no es en absoluto una lista completa. Pero solo para decir que hay muchas formas en las que se utiliza el lenguaje de operadores en la mecánica cuántica, y resolver la ecuación de Schrödinger no es suficiente para una comprensión profunda.

Answer 3

Creo que el problema es que a veces en Física la gente se preocupa mucho más por los resultados de los cálculos que por la naturaleza de las estructuras matemáticas subyacentes. Solo para dar un ejemplo rápido de eso, en la Relatividad General a menudo estamos interesados en estudiar el movimiento de una partícula en algún espacio-tiempo. A menudo se denotan las coordenadas de la línea del mundo de la partícula como $x^\mu(\tau)$ y se estudia la ecuación geodésica $$\ddot{x}^\mu+\Gamma^\mu_{\nu\sigma}\left(x\left(\tau\right)\right)\dot{x}^\nu \dot{x}^\sigma=0.\tag{1}$$

Bueno, $x^\mu(\tau)$ son simplemente cuatro funciones de una sola variable, mientras que $\Gamma^\mu_{\nu\sigma}(x)$ es solo una colección de funciones de las cuatro variables $x^\mu$.

En cuanto al cálculo se refiere, se reduce a (1), pero detrás de escena $x^\mu(\tau)$ es realmente el representante de coordenadas de una curva en una variedad suave con métrica semi-riemanniana, mientras que $\Gamma^\mu_{\nu\sigma}$ son los representantes de coordenadas de un objeto llamado la conexión de Levi-Civita en dicha variedad.

Lo mismo se puede decir de la Mecánica Cuántica. Uno puede simplemente mirar la ecuación de Schrodinger $$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+V\Psi=i\hbar \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}\tag{2}$$

y ver allí una ecuación diferencial parcial de segundo orden para una función de valores complejos $\Psi(t,x)$. Esta sería el análogo mecánico cuántico, no relativista, de (1).

Nuevamente, en cuanto al cálculo se refiere, se reduce a (2), pero ahora detrás de escena $\Psi(t,x)$ es en realidad una curva en un espacio de Hilbert $t\mapsto \Psi(t,\cdot)$ cuyos elementos son funciones de valores complejos y integrables al cuadrado. Uno puede invocar un punto de vista aún más abstracto en el que tenemos una base $|x\rangle$ y vemos las cantidades $\Psi(t,x)=\langle x|\Psi(t)\rangle$ como las coordenadas del vector $|\Psi(t)\rangle$ en esa base.

Este tipo de cosa está en todas partes: tenemos una estructura matemática abstracta subyacente en todos los cálculos en Física. La razón por la cual esta estructura matemática abstracta es importante, en lugar del simple cálculo, es que organiza las cosas de una manera mucho más lógica. Esto permite una mejor comprensión, la eliminación de ambigüedades y a veces proporciona información para simplificar los cálculos.

Dado que estás estudiando Mecánica Cuántica pronto descubrirás esto: cuando estudias el oscilador armónico, pasar por los cálculos de componentes (2) te llevará a resolver la ecuación de Hermite. Pero aprovechar el punto de vista abstracto del espacio de Hilbert te llevará a operadores de aniquilación y creación y a un método relativamente más simple (y en mi opinión más elegante) para obtener tus soluciones.

Lo mismo sucederá con el momento angular orbital donde (2) te llevará a estudiar el problema de autovalores del laplaciano en la esfera (y eventualmente la ecuación asociada de Legendre) mientras que el punto de vista abstracto del espacio de Hilbert te llevará a estudiar el álgebra de rotaciones que en última instancia te da una construcción alternativa de los armónicos esféricos.

Answer 4

Dado que querías un ejemplo de dónde se puede usar la formulación abstracta de los vectores de estado, aquí tienes una especie de 'derivación' (léase como motivación) del operador de momento en el espacio de posición. Todo lo siguiente es en 1-D

Supongamos que $\left|\Psi(t)\right>$ es el vector de estado del sistema y $\left|x\right>$ es un autoestado de posición (estricamente hablando, estos no están en el espacio de Hilbert). Dado que $\left|x\right>$ forma la base de nuestro espacio, podemos escribir el estado como una combinación lineal de los $\left|x\right>$ de la siguiente manera $$\left|\Psi(t)\right>=\int \mathrm{d}x \left|x\right> \left$$ Ahora podemos usar la mecánica clásica y el hecho de que el momento es un generador de traslaciones. Así que podemos escribir el operador de traslación infinitesimal $T(dx)$ como $$T(dx)=1-i\frac{\hat p dx}{\hbar}$$ El $-i$ aparece dado que se asume que $\hat p$ es hermítico (el $\hbar $ es para igualar unidades) y que

a) $T(dx)$ sea unitario
b) $T(-dx)=T^{-1}(dx)$ y que
c) $T(dx)T(dx')=T(dx+dx')+O(dx^2)$

Podemos aplicar $T(\Delta x)$ a nuestro estado anterior y obtenemos $$\begin{aligned}(1-i\frac{\hat p \Delta x}{\hbar})\left|\Psi(t)\right>&=\int\mathrm{d}x'T(\Delta x)\left|x'\right> \left \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'+\Delta x\right> \left \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>\left \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>(\left-\Delta x\frac{\partial}{\partial x'} \left) \end{aligned}$$ La segunda línea usa la definición de $T(dx)$ en un autovector de posición, la tercera línea hace una sustitución de variables $x'+\Delta x \rightarrow x'$ y la última línea realiza una expansión de Taylor. Expandiendo ambos lados y cancelando $\left|\Psi(t)\right>$ obtenemos $$\hat p \left|\Psi(t)\right>=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x'} \left)$$

Multiplicando a la izquierda por $\left y usando el hecho de que $\left\=\delta(x-x')$ obtenemos $$\left\=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \left$$

Dado que $\left$ es la función de onda, el operador de momento en el espacio de posición es $$\hat p_{position\ space}=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

Answer 5

Veo dos preguntas importantes siendo hechas aquí:

Pregunta 1: ¿Cuál es el punto de álgebra lineal en MQ cuando todos los problemas que resuelvo típicamente trabajan con funciones de onda y no usan álgebra lineal?

Pregunta 2: Conceptualmente, ¿cuál es el significado de "espacios de Hilbert"? ¿Por qué se mencionan tanto los "espacios de Hilbert" como si hubiera algo especial en ellos, cuando la definición casi nunca es mencionada o usada en ningún problema real que he encontrado?

La primera pregunta es la que responden @user7896, @andrew, @jMurray y @gold. Creo que estas respuestas están bien, pero también tengo otra sugerencia.

Te recomiendo que mires los sistemas de espín 1/2. Este es un sistema comúnmente utilizado que puede estar en una superposición discreta de solo 2 posibilidades discretas (espín arriba o espín abajo). El estado cuántico de este sistema puede ser representado por una simple matriz de 2x1 (una matriz para las amplitudes de probabilidad asociadas por cada estado). Este es el estado cuántico más simple con el que trabajar y a menudo se le llama un qubit. A menudo, solo el álgebra lineal es suficiente para decirte qué ocurrirá con este estado. Por ejemplo, si quieres evolucionarlo en el tiempo, puedes multiplicarlo por $e^{i\hat{H} t}$ donde $\hat{H}$ es una matriz de 2 por 2 que representa el Hamiltoniano del sistema. Encuentro que el método de álgebra lineal es mucho más útil para entender cómo las probabilidades se interfieren. Ahora, cualquier problema con un número discreto de estados sólo puede funcionar con álgebra lineal, y puedes ver cómo las amplitudes de probabilidad se suman y restan claramente.

Además, todos los sistemas continuos (como una partícula en una caja) en realidad pueden ser pensados como lo que ocurre cuando tomas un vector y le das un número incontable de posibilidades (con amplitudes de probabilidad asociadas a cada posibilidad). Así que imagina una partícula en una caja como estando en N contenedores discretos, y luego lleva el número de contenedores al infinito. Puedes representarlo con álgebra lineal para la parte discreta, y la representación continua completa es simplemente cuando lo llevas a un número infinito de contenedores.

Hasta ahora, solo una persona (@J. Murray) ha intentado responder la segunda pregunta:

Pregunta 2: Conceptualmente, ¿cuál es el significado de "espacios de Hilbert"? ¿Por qué se mencionan tanto los "espacios de Hilbert" como si hubiera algo especial en ellos, cuando la definición casi nunca es mencionada o usada en ningún problema real que he encontrado?

Técnicamente en Wikipedia está escrito que:

Los espacios de Hilbert (llamados así en honor a David Hilbert) permiten generalizar los métodos de álgebra lineal y cálculo de los espacios euclídeos de dos y tres dimensiones a espacios que pueden tener una dimensión infinita. Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial equipado con una operación de producto interno, que permite definir una función de distancia y perpendicularidad (conocida como ortogonalidad en este contexto). Además, los espacios de Hilbert son completos para esta distancia, lo que significa que hay suficientes límites en el espacio para permitir el uso de las técnicas de cálculo.

Lo cual es similar a lo que estaba diciendo en la primera parte de la respuesta. (Llevar los contenedores al infinito y volver a trabajar el producto interno algebraico en ese límite).

Pero hay un componente conceptual que creo que falta aquí. Coloquialmente a menudo usamos el término "espacio de Hilbert" para referirnos al "espacio de posibilidades" en el que viven nuestras amplitudes de probabilidad. Este "espacio de posibilidades" para problemas simples suele ser muy obvio. Así que para un sistema de qubit (toma una partícula de espín 1/2 por ejemplo), nuestras amplitudes de probabilidad solo pueden existir en 2 estados posibles (por lo que podríamos tener un estado $\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$ por ejemplo, que podría escribirse como $\left[\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\right]$ como un vector).

Pero para un sistema de 2 qubits la cantidad de posibilidades es de 4. Y para un sistema de 3 qubits la cantidad de posibilidades es de 8 (cada configuración posible de las posibles formas en que las 3 partículas podrían estar arriba o abajo, como la cantidad de configuraciones que hay para lanzar 3 monedas). A cada resultado posible se le puede asignar su propia amplitud de probabilidad independiente.

Por ejemplo, el espacio de Hilbert para el sistema de 3 qubits es:

$ \begin{align} |0\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3\\ |0\rangle_1|0\rangle_2|1\rangle_3\\ |0\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3\\ |0\rangle_1|1\rangle_2|1\rangle_3\\ |1\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3\\ |1\rangle_1|0\rangle_2|1\rangle_3\\ |1\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3\\ |1\rangle_1|1\rangle_2|1\rangle_3 \\ \end{align} $

El espacio de Hilbert para un sistema de 3 qubits es el conjunto de todas las configuraciones posibles en las que cada uno de estos estados puede estar, y asignamos amplitudes de probabilidad a estas configuraciones combinatorias. Así que por ejemplo, un sistema de 3 qubits podría estar en un estado de superposición $|0\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3- |0\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3$. El hecho de que se asignen amplitudes de probabilidad a los resultados posibles, en mi opinión, es la esencia de la MQ.

Esto significa que nuestro "espacio de Hilbert" (que realmente queremos decir es el espacio de posibilidades en el que todas nuestras configuraciones existen y se les pueden asignar amplitudes de probabilidad) se vuelve mucho, mucho más grande.

Es este uso coloquial del término "espacio de Hilbert" en el que nos referimos al espacio de posibilidades que se incrementa exponencialmente lo que creo que rara vez se explica y a menudo es la fuente de confusión conceptual.