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Teorema de Girsanov y simulación de precios de bonos

Supongamos que queremos calcular el precio en el tiempo $t=0$ de un bono: $B(0,T) = E_P[\exp(-\int_0^T r_s ds)]$, donde $r$ es la tasa de interés que sigue la EDS $dr_t=k(\theta-r_t)dt+\sigma dB_t=b(r_t)dt+\sigma dB_t$.

Me mostraron que se podría escribir el precio de la siguiente manera

$B(0,T) = E_{\hat{P}}[\exp(-\int_0^TB^{*}_sds)\exp(\int_0^Tb(B^{*}_s)dB^{*}s-\frac{1}{2}\int_0^Tb^2(B^{*}_s)ds)]$

donde $B_t^{*}$ es el movimiento Browniano "nuevo" del teorema de Girsanov.

Sin embargo, cuando intento implementarlo, los precios resultan ser demasiado bajos. Esto es lo que hice:

Dado que $dr_t=b(r_t)dt+\sigma dB_t$, el teorema de Girsanov da un nuevo movimiento Browniano con dinámica $dB_t^{*}=\frac{1}{\sigma}b(r_t)dt+dB_t$, y la dinámica de $r_t$ se convierte en $dr_t=\sigma dB_t^{*}$. Entonces $r_t=r_0+\sigma B_t^{*}$ y $dB_t^{*}= \frac{1}{\sigma}b(r_0+\sigma B_t^{*})dt+dB_t$. Con esta última expresión intenté usar discretización de Euler para encontrar $B_t^{*}$, luego finalmente aproximé las tres integrales como sumas.

¿Qué estoy haciendo mal? En segundo lugar, también me pregunto cuál debería ser el punto de partida de $B_t^{*}$, es decir, $B_0^{*}$.

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Quant Puntos 68

Dado que probablemente no quisieras sobrecargar "B" tanto para el precio del bono como para el movimiento browniano, ¿por qué no utilizas la expresión analítica para el precio del bono (Vasicek)? Además, tu tasa de interés a corto plazo y el logaritmo del precio del bono serán conjuntamente gaussianos.

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