Supongamos que queremos calcular el precio en el tiempo $t=0$ de un bono: $B(0,T) = E_P[\exp(-\int_0^T r_s ds)]$, donde $r$ es la tasa de interés que sigue la EDS $dr_t=k(\theta-r_t)dt+\sigma dB_t=b(r_t)dt+\sigma dB_t$.
Me mostraron que se podría escribir el precio de la siguiente manera
$B(0,T) = E_{\hat{P}}[\exp(-\int_0^TB^{*}_sds)\exp(\int_0^Tb(B^{*}_s)dB^{*}s-\frac{1}{2}\int_0^Tb^2(B^{*}_s)ds)]$
donde $B_t^{*}$ es el movimiento Browniano "nuevo" del teorema de Girsanov.
Sin embargo, cuando intento implementarlo, los precios resultan ser demasiado bajos. Esto es lo que hice:
Dado que $dr_t=b(r_t)dt+\sigma dB_t$, el teorema de Girsanov da un nuevo movimiento Browniano con dinámica $dB_t^{*}=\frac{1}{\sigma}b(r_t)dt+dB_t$, y la dinámica de $r_t$ se convierte en $dr_t=\sigma dB_t^{*}$. Entonces $r_t=r_0+\sigma B_t^{*}$ y $dB_t^{*}= \frac{1}{\sigma}b(r_0+\sigma B_t^{*})dt+dB_t$. Con esta última expresión intenté usar discretización de Euler para encontrar $B_t^{*}$, luego finalmente aproximé las tres integrales como sumas.
¿Qué estoy haciendo mal? En segundo lugar, también me pregunto cuál debería ser el punto de partida de $B_t^{*}$, es decir, $B_0^{*}$.