Ejemplo de cohomología local

Question

Sea $S=k[x_1,...,x_n]$ un anillo de polinomios sobre el cuerpo $k$ con ideal maximal $m=(x_1,...,x_n)$. Quiero hacer un $3$-módulo dimensional $S$ $M$ tal que $H^0_m(M)=H^1_m(M)=0$ y $H^2_m(M)\neq 0$ sea finitamente generado (o en el caso general: $H^i_m(M)$ sea finito para todo $i=0,1,2$). ¿Hay una manera simple de crear ejemplos similares (para cualquier dimensión)?

Antecedentes:

$H^i_m(M)$ significa el módulo de cohomología local $i$ de $M$.

Answer 1

Tomemos $M$ como la segunda sizzugía de $k$ sobre $S=k[x_1,x_2,x_3]$. Entonces, una versión graduada de dualidad local nos dice que $H^2_m(M)$ es dual a $Ext^1(M,R)= Ext^3(k,R)$, este último es $k$ ya sea por cálculo directo o dualidad nuevamente.

Se puede generalizar fácilmente esto, la $j$-síntesis de $k$ en $n$ variables tendrá cohomologías locales desaparecidas hasta el grado $j-1$ y finitamente generadas hasta $n-1$.