Computación en coordenadas de Kruskal

Question

En mi última pregunta, aprendí que el movimiento dentro del horizonte de eventos está realmente bien definido cuando se representa en coordenadas de Kruskal-Szekeres.

Sin embargo, todavía no entiendo cómo funciona. ¿Me puedes ayudar a resolver un problema que he ideado?

Imaginemos que hay un horizonte de eventos alrededor de una singularidad, de radio R. Hay una pequeña masa m en reposo con respecto a este horizonte de eventos, inicialmente ubicada a 10R de la singularidad. Comenzará a caer hacia el horizonte de eventos.

Podemos calcular aproximadamente cuánto tiempo ha transcurrido en m cuando se acerca a 5R usando la mecánica clásica. Usando la relatividad general, podemos calcular cuánto tiempo ha transcurrido en m cuando se acerca a 2R.

¿Puedes guiarme por favor cuánto tiempo pasará en m cuando cruce R (es decir, el horizonte de eventos, medido desde el exterior)? ¿¾R? ¿½R? ¿¼R?

¿Hay tal vez una calculadora en línea donde uno pueda ingresar algunos valores y obtener el resultado?

Answer 1

Hay soluciones simples en forma cerrada para una partícula que cae en un agujero negro de Schwarzschild, comenzando desde el reposo a una gran distancia. Consulta https://es.wikipedia.org/wiki/Geodésicas_de_Schwarzschild#Órbitas_de_partículas_de_prueba, debajo del texto "Cuando $E = m c^2$ y $h = 0$, podemos resolver explícitamente para $t$ y $τ$." El tiempo propio $\tau$ es lo que necesitas aquí. El tiempo de Schwarzschild $t$ no es algo especialmente significativo para referirse dentro del horizonte (no es temporal).

Para el tiempo propio, el resultado (omitir una constante de integración) es $\tau=-(2/3)(R/c)(r/R)^{3/2}$, donde $R$ es el radio de Schwarzschild. Así que por ejemplo, el tiempo que lleva ir desde $5R$ a $R/4$ en esa trayectoria (ya en movimiento en $5R$) es $7.4R/c$.

Aquí hay una simulación que hice de lo que verías ópticamente: https://www.youtube.com/watch?v=z-H-PipYCKc&feature=youtu.be. Esto es para un agujero negro con 10 veces la masa del sol. El tiempo total hasta que impactas la singularidad es de algunos milisegundos.