¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de todas las funciones de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$?

Question

¿Cómo puedo enfocar esto?

Tengo que encontrar la cardinalidad del conjunto de funciones de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ y no tengo idea de cómo resolverlo.

¿Puede alguien darme una pista aquí?

El enfoque en sí es lo que me confunde... ¿cómo intento mapear esto a algo más si es un conjunto de funciones?

Answer 1

Un enfoque es hipotetizar algún cardinal $\kappa$ para el cual puedas probar $\kappa \leq \left|\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}\right|$ y $\left|\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}\right| \leq \kappa$.

Aquí tienes una pista: $$\left|\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}\right| \leq \left|(2^{\mathbb{Z}})^{\mathbb{Z}}\right| = 2^{|\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}|}$$

Answer 2

El conjunto dado tiene cardinalidad $\omega^\omega$. Claramente, esto es mayor o igual a $2^\omega$. Por otro lado, es menor o igual a $(2^\omega)^\omega=2^{\omega^2}=2^\omega$. Por lo tanto, por el CSB, la cardinalidad es igual a $2^\omega=\mathbb R.

Answer 3

$ A:=\{ f : \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{ Z} \} ,\ B:=\{ f: \mathbb{ Z}\rightarrow \{ 0,1 \} \} $ de modo que $$ |A|\geq |B|= 2^{\aleph_0 }= \mathfrak{c}$$ donde $ \mathfrak{c}=|\mathbb{ R}|$ y $ \aleph_0=|\mathbb{N}|$ (cf. teorema de Schroder-Bernstein)

Dado que $|\mathbb{Z}|=|\mathbb{N}|$, entonces $|A|=|A'|$ donde $A':=\{f : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\}$. Y $|B|=|B'|$ donde $B':=\{f : \mathbb{ N}\rightarrow \{0 , 1\} \}$

Ahora vamos a relacionar un elemento en $A'$ con un elemento en $B'$.

Para $f\in A'$, entonces definimos $$ 1\underbrace{0\cdots 0}_{f(1)-\text{veces}} 1\underbrace{0\cdots 0}_{f(2)-\text{veces}} 1 \cdots $$

de modo que tenemos $F\in B'$ : $$F(1)=1,\ F(i)=0 \ (2\leq i \leq 1+f(1)),\ \cdots $$