Intersección de componentes conectadas en $\mathbb{R}^n$

Question

Sea $n$ un entero positivo y sea $K\subseteq \mathbb{R}^n$ compacto. Elija $x^* \in \mathbb{R}^n\setminus K$.

Sea $E$ el componente conectado de $\mathbb{R}^n\setminus K$ que contiene a $x^*$. Sea ${\cal C}$ el conjunto de componentes conectados de $K$. Para cada $C\in {\cal C}$ sea $E_C$ el componente conectado de $\mathbb{R}^n\setminus C$ que contiene a $x^*$.

¿Es cierto que $E=\bigcap\{E_C: C\in{\cal C}\}$?

Answer 1

La respuesta a este problema es Sí.

De hecho, la inclusión $E\subset \bigcap_{C\in\mathcal C}E_C$ es trivial, por lo que queda por demostrar que para cualquier punto $x\in\mathbb R^n\setminus E$ existe un componente conectado $C\in\mathcal C$ de $K$ tal que $x\notin E_C. Por el Lema de Zorn, el conjunto compacto $K$ contiene un subconjunto cerrado minimal $S\subset K$ tal que los puntos $x^*$ y $x$ pertenecen a componentes distintas de $X\setminus S. Un conjunto compacto minimal $S$ se llama una barrera irreducible entre $x$ y $x^*.

Afirmación. La barrera irreducible $S$ es conectada.

Prueba. La prueba involucra algunas herramientas de topología algebraica. No sé si hay una prueba más elemental. Suponiendo que $S$ está desconectado, podemos escribir $S$ como la unión disjunta $A\cup B$ de dos conjuntos compactos no vacíos. Dado que $S$ es una barrera mínima entre $x$ y $x^*$, los puntos $x,x^*$ pueden estar conectados por un camino en $\mathbb R^n\setminus A$ y $\mathbb R^n\setminus B. Dado que $x,x^*$ pertenecen a diferentes componentes conectadas, el ciclo singular de dimensión 0 $\alpha=x-x^*$ determina un elemento no nulo en el grupo de homología $H_0(\mathbb R^n\setminus S)$. Ahora observa que $(\mathbb R^n\setminus A)\cup(\mathbb R^n\setminus B)=\mathbb R^n\setminus(A\cap B)=\mathbb R^n$ y escribe la secuencia exacta Mayer-Vietoris $$H_0(\mathbb R^n)\to H_0(\mathbb R^n\setminus S)\to H_0(\mathbb R^n\setminus A)\oplus H_0(\mathbb R^n\setminus B).$$ Por la minimalidad de $S$, la imagen del ciclo singular $\alpha$ en $H_0(\mathbb R^n\setminus A)\oplus H_0(\mathbb R^n\setminus B)$ es trivial. Ahora, la exactitud de la secuencia de Mayer-Vietris implica que $\alpha$ es cero en $H_0(\mathbb R^n\setminus S)$, lo cual es una contradicción deseada.