¿Puede ser nula la restricción de un mapa esférico nulohomotópico?

Question

Sean $n,q$ enteros positivos. Estamos interesados en los casos donde $n>q$.

Sea $F:\mathbb B^n\to\mathbb S^{q-1}$ una función continua (diferenciable, si es necesario), tal que $F(1,0^{n-1})=(1,0^{q-1})$, $F(-1,0^{n-1})=(-1,0^{q-1})$ y $F(\{0\}^1\times\mathbb S^{n-2})\subset\{0\}^1\times\mathbb S^{q-2}\simeq\mathbb S^{q-2}$.

¿Podemos encontrar una función $G:\mathbb B^{n-1}\to \mathbb S^{q-2}$ tal que $G(\theta)=F(0,\theta)\in \mathbb S^{q-2}$ para todo $\theta\in\mathbb S^{n-2}$?

Answer 1

Existen mapas nulhomóticos que preservan equátores de codimensión uno de modo que la restricción a los equátores no es nulhomótica. Ejemplos muy simples provienen de tomar mapas no nulhomóticos de esferas y luego extenderlos a una esfera de dimensión mayor por un mapa no sobreyectivo.

Sin embargo, de hecho se pueden encontrar ejemplos mucho más extraños. Afirmo que para cualquier n par, se puede construir un mapa $S^{2n} \rightarrow S^{n+1}$ de modo que la restricción del dominio a cada (2n-1)-esfera $x_1^2 + \dots x_{2n} ^2=t$ y del codominio a la n-esfera $x_1^2 + \dots x_n ^2=t$ es no nulhomótica, y sin embargo este mapa es nulhomótico.

Este hecho sigue inmediatamente de la afirmación, "Existe un mapa no nulhomótico $S^{2n-1} \rightarrow S^n$ tal que la suspensión de este mapa es trivial." Esto se debe a que la suspensión del mapa se realiza enviando meridianos a meridianos mediante el mapa que estamos suspendiendo.

Un mapa nulhomótico de este tipo (para $n=2$) existe por la siguiente razón: el mapa de Hopf $S^3 \rightarrow S^2$ es un mapa que tiene orden infinito en los grupos de homotopía de $S^2$. Mediante un argumento ingenioso que involucra la conjugación compleja, la suspensión del mapa de Hopf tiene orden 2. Por lo tanto, el doble del mapa de Hopf está en el núcleo del homomorfismo de suspensión, por lo que hemos demostrado un caso específico.

Para n general, esto se sigue al calcular los grupos de homotopía racionales de $S^n$ y encontrar solo un grupo nontorsión y aplicar el razonamiento anterior.