Una función $f$ con dominio $X$ y contradominio $Y$ es sobreyectiva si para cada $y$ en $Y$ existe al menos un $x$ en $X$ tal que $f(x)=y$. Pero ¿qué pasa si hay un caso en el que cada $x$ en $X$ está conectado a múltiples elementos en $y$? ¿Cómo se describiría tal caso?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Jens Schwaiger
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11
Chris Custer
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67
El título de la pregunta describe una función que no es uno a uno (o inyectiva).
Esto se refiere al cuerpo de la pregunta: Una relación en la que hay más de un $y$ para cada $x$ no es una función. He escuchado sobre distribuciones como generalizaciones de funciones. Por otro lado, en análisis complejo, las superficies de Riemann tratan con tales objetos.
Una función mapea, por definición, cada elemento del dominio a un solo elemento del codominio.
Dick Kusleika
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Esto se llama una función multivaluada. Al igual que una función, es un conjunto de pares de $X \times Y$, de modo que cada elemento de dominio $x$ tiene al menos un "valor" asociado con él, por lo que $$\forall x \in X: \exists y \in Y: (x,y) \in f$$
Una función estándar (univaluada) también tiene la propiedad de que las imágenes de un punto son únicas:
$$\forall x \in X: \forall y,y' \in Y: ((x,y) \in f \land (x,y') \in f) \implies y=y'$$
Pareces estar interesado en la primera variedad. Podrías modelarlas como funciones clásicas univaluadas con dominio $X$ y codominio $\mathscr{P}(Y)\setminus \{\emptyset\}$, enviando $x$ a su conjunto (no vacío) de todos los posibles valores. Ese conjunto entonces se puede ver como su única imagen de función. Esto, por supuesto, cambia el codominio.
