¿Existe una pequeña ecuación sencilla que pueda dar la frecuencia aproximada de las ondas gravitacionales emitidas por la espiral de dos cuerpos?
Respuesta
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Para el orden principal, la frecuencia angular del movimiento radial en una espiral binaria obedece la ecuación $$ \frac{d \omega}{dt} = \frac{96}{5} \left( \frac{G \mathcal{M}}{c^3} \right)^{5/3} \omega^{11/3} $$ donde $\mathcal{M}$ es la llamada masa de chirrido, definida por $$ \mathcal{M} = \left( \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^{1/3}} \right)^{3/5}. $$
La frecuencia de la señal de onda gravitacional será el doble de la frecuencia orbital. Es decir, la frecuencia observada de la señal es $$ \nu = 2 \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\omega}{\pi}. $$ Puedes usar estas ecuaciones para estimar la masa de chirrido del sistema $\mathcal{M}$ usando $\nu$ y $\dot{\nu}$, o viceversa. Dada una condición inicial razonable, puedes resolver analíticamente para $\omega(t)$ o $\nu(t)$ y encontrar la evolución de la frecuencia de la señal.
Nota que la ecuación diferencial para $\omega$ implica que $\omega$ aumenta monótonamente ($\dot{\omega} > 0$). Esta ecuación también predice que $\omega$ divergirá en tiempo finito, lo que corresponde al evento de colisión y al final del movimiento orbital.
