Ayuda con la integral impropia

Question

Necesito ayuda para resolver esta integral:

$$\int_0 ^\infty \frac{\sin(x)}{x} dx$$

Tengo una ayuda que dice que intente calcular la integral de $$\frac{e^{iz}}{z}$$ para una "senda adecuada"... pero no sé cómo utilizar eso, ayuda.

Answer 1

$(1)$ $$f(-z) = \frac{\sin(z)}{z} \Rightarrow f \ \ \text{es par}.$$

$(2)$ $$\int_{-\infty}^{\infty} f(z) \ dz = 2 \int_{0}^{\infty} f(z)\ dz$$

$(3)$ $$\int_{-R}^{R} \frac{e^{iz}}{z} \ dz = Im\{ \pi i (\sum Res f|_{z_k})\}, \text{para}\ \ z_k (\text{siendo las singularidades})$$

$(4)$ $$\int_{-R}^{R} \frac{e^{iz}}{z} \ dz =Im\{ \pi i (e^{i \cdot 0}) \} = \pi$$

$(5)$ $$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(z)}{z}\ dz = \frac{\pi}{2}$$ \

$\textbf{Comentario}$: Por supuesto, se dejaron fuera una gran cantidad de detalles.

$$\int_{-R}^{R} f(z) dz = \int_{C} f(z) - \int_{C_r} f(z) dz$$

$\cdot$ Este último tiende a cero por el Lema de Jordan.