Preservación de la estabilidad en sistemas dinámicos lineales bajo perturbaciones no lineales: Un análisis completo y condiciones para la estabilidad robusta

Question

Barrera del Proceso: La afirmación que estamos investigando se refiere a la estabilidad de un punto bajo una perturbación. Específicamente, queremos determinar si un punto que es estable de Lyapunov para el sistema lineal $\dot{x}=Ax$ sigue siendo estable cuando es perturbado por un término $O(\|x\|^2)$ en la forma $\dot{x}=v(x)=Ax+O(\|x\|^2)$, asumiendo que la función $v(x)$ pertenece a $C^k(U)$ y que estamos tratando con un sistema en $U \subset \mathbb{R}^n$ donde $n \geq 2$.

Análisis de la Barrera: Como se mencionó anteriormente, la afirmación no es necesariamente cierta. Esto lo demostramos con el ejemplo:

$$\begin{align*} \dot{x} &= -\frac{y}{x} + x^3 \\ \dot{y} &= x + y^3 \end{align*}$$

En este ejemplo, el origen es estable de Lyapunov para el sistema linealizado $\dot{x}=Ax$. Sin embargo, cuando introducimos el término no lineal $O(\|x\|^2)$ en $\dot{x}=v(x)$, el origen ya no es estable de Lyapunov. Esto plantea la pregunta de encontrar una función de Lyapunov adecuada $g'(x,y)$ para el sistema perturbado que pueda capturar la estabilidad o inestabilidad del origen.

Pregunta Relacionada: Dado que hemos observado que agregar términos no lineales al sistema puede cambiar su estabilidad, surge una pregunta relacionada:

Pregunta: ¿Bajo qué condiciones podemos garantizar la preservación de la estabilidad (es decir, estabilidad de Lyapunov) al introducir perturbaciones, como términos $O(\|x\|^2)$, a un sistema de la forma $\dot{x}=Ax$? ¿Existen propiedades específicas de la función de perturbación $v(x)$ que aseguren que la estabilidad se mantenga?

Esta pregunta profundiza en el tema más amplio del análisis de estabilidad en presencia de perturbaciones y busca identificar condiciones bajo las cuales la estabilidad de un sistema sigue siendo robusta a pesar de la adición de términos no lineales.

Answer 1

La estabilidad local (en el origen) de un sistema lineal perturbado por no linealidades se conserva si el jacobiano del término no lineal evaluado en el origen es cero y si la parte lineal no tiene modos marginalmente estables.

Esto es equivalente a la siguiente notación matemática

$$\dot{x} = v(x), \tag{1}$$

con $v(0)=0$ y

$$\left.\frac{\partial\,v(x)}{\partial x}\right|_{x=0} = A \tag{2}$$

y $A$ una matriz de Hurwitz (es decir, todos los autovalores de $A$ tienen una parte real negativa). Lo cual también es equivalente a afirmar

$$v(x) = A\,x + f(x), \tag{3}$$

con $A$ una matriz de Hurwitz y $f(x)$ tal que $f(0)=0$ y

$$\left.\frac{\partial\,f(x)}{\partial x}\right|_{x=0} = 0. \tag{4}$$

Aunque hay que tener en cuenta que esta es una condición suficiente pero no necesaria para asegurar la estabilidad local del sistema no lineal.

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Una función de Lyapunov $V(x)$ que mostraría la estabilidad asintótica local de $(1)$ puede encontrarse usando cualquier matriz definida positiva $Q$ y la matriz $P$ que satisfaga la siguiente ecuación de Lyapunov

$$A^\top P + P\,A = -Q. \tag{5}$$

La función de Lyapunov correspondiente se puede obtener como

$$V(x) = x^\top P\,x. \tag{6}$$

La estabilidad asintótica local de $(1)$ usando $(6)$ se puede demostrar tomando la derivada de $(5)$, que da como resultado

$$\begin{align} \dot{V}(x) &= \dot{x}^\top P\,x + x^\top P\,\dot{x}, \\ &= v(x)^\top P\,x + x^\top P\,v(x), \\ &= x^\top A^\top P\,x + f(x)^\top P\,x + x^\top P\,A\,x + x^\top P\,f(x), \\ &= -x^\top Q\,x + f(x)^\top P\,x + x^\top P\,f(x). \end{align}$$

Debido a que $(4)$ se sigue que $f(x)^\top P\,x + x^\top P\,f(x)$ es $O(\|x\|^3)$ o superior, mientras que $x^\top Q\,x$ es $O(\|x\|^2)$. Por lo tanto, cerca del origen el término $-x^\top Q\,x$ domina $\dot{V}(x)$ y por lo tanto implica estabilidad asintótica.