Si $f^2(b) - f^2(a) = b^2 - a^2$, entonces la ecuación $f'(x)f(x) = x$ tiene al menos una raíz en el intervalo (a, b).

Question

Supongamos que $f$ es continua en [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). ¿Cómo sabemos que si $f^2(b) - f^2(a) = b^2 - a^2$,

entonces la ecuación

$f'(x)f(x) = x$

tiene al menos una raíz en (a, b).

Answer 1

Considera $$F(x)=f^2(x)-x^2$$ y aplica el teorema de Rolle