Demuestra que $\log_a(b)=\log(b)/\log(a)$

Question

Demuestra que $$\log_a(b)=\log(b)/\log(a)$$ No sé cómo resolverlo, pero necesito demostrarlo para resolver un problema.

Answer 1

Pista: la tuya se mantiene si y solo si $$ \log(a) \log_a(b) = \log(b)$$ lo cual a su vez es cierto si y solo si $$ e^{\log(a) \log_a(b)} = e^{\log(b)} \ldotp$$ Espero que puedas continuar a partir de aquí, si no, publica lo que tienes y veremos más.

Answer 2

Tenemos $$ a^{\log_a(b)} = b $$ así que necesitamos demostrar que esto también se cumple para el lado derecho: $$ a^{\log(b)/\log(a)}\\ = (10^{\log(a)})^{\log(b)/\log(a)}\\ = 10^{\log(a) \cdot \log(b)/\log(a)}\\ = 10^{\log(b)}\\ = b $$ Dado que $a$ elevado a uno de ellos es lo mismo que $a$ elevado al otro, deben ser iguales. Esto es siempre y cuando $a,b > 0, a \neq 1$.

Answer 3

$\log_a(b) = x \Rightarrow a^x = b$ Ahora tomando logaritmos de ambos lados obtenemos $$\log(a^x) = \log(b) \Rightarrow x\log(a) = \log(b) \Rightarrow x = \frac{\log(b)}{\log(a)}$$

Pero $x=\log_a(b)$ así que hemos terminado.

Answer 4

Considera lo siguiente :

Sea $loga(b)= m$ ...(Hipótesis)

Por lo tanto, $b=a^m$ ...(por definición de logaritmo)

Ahora mira el Lado Derecho de la prueba requerida,

Sea $log(b)/log(a) = n$

Sustituye $b=a^m$ en eso...

Por lo tanto, $log(b)=log(a^m)=mlog(a)$ ...(Propiedad de logaritmo)

Por lo tanto $logb/loga=mloga/loga=m$

Por lo tanto $m=n$

Así se demuestra el resultado requerido.