Espectro del operador $T: \ell^{2} \supset \text{dom}(T) \rightarrow \ell^{2}$ definido por $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}} \mapsto (nx_{n})_{n\in \mathbb{N}}$

Question

¿Cuál es el punto, el espectro continuo y residual del siguiente operador?

$T: \ell^{2}\supset\text{dom}(T) \rightarrow \ell^{2}$, $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}} \mapsto (nx_{n})_{n\in \mathbb {N}}$, donde $\text{dom}(T) = \left\{(x_{n})_{n\in \mathbb{N}} \in \ell^{2} | (nx_{n})_{n\in \mathbb {N}} \in \ell^{2} \right\}$

Mis pensamientos hasta ahora: Dado que $T$ es autoadjunto, debe ser que $\sigma_{r}(T) = \emptyset$. Ahora, considerando el espectro puntual, intenté encontrar los autovalores de $T$: $Tx = \lambda x \iff (n-\lambda) x_{n} = 0$. Pero entonces tendría $x_{n}=1 $ para $n = \lambda$ y $x_{n}=0$ de lo contrario, por lo que los correspondientes autovectores no están en $\text{dom}(T)$, ¿cierto? Entonces $\sigma_{p}(T) = \emptyset$? ¿Puede alguien proporcionar pistas para $\sigma_r(T)$ o $\sigma_c(T)$, por favor?

Answer 1

Sea $e_1, e_2, e_3, ....$ la base ortonormal usual de $\ell^2.$ Entonces $e_1, e_2, e_3, ....\in dom(T)$ y $Te_k = ke_k$ para todo $k \in \mathbb N.$ Esto da

$$\mathbb N \subseteq \sigma_p(T).$$

Si $ \lambda \in \sigma_p(T)$, entonces hay un $x = (x_1, x_2, ...)\in dom(T)$ tal que $Tx= \lambda x$ y $x \ne 0.$ Se sigue que

$$kx_k = \lambda x_k$$

para todo $k \in \mathbb N.$ Esto muestra que $\lambda = m$ para algún $m \in \mathbb N $, $x_m \ne 0$ y $x_k=0$ para $k \ne m$, por lo tanto $x=x_me_m.$

Conclusión: $$\mathbb N =\sigma_p(T).$$

Answer 2

Es cierto que $T$ es autoadjunto y por lo tanto $\sigma_r(T) = \emptyset$ (y también $\sigma(T) \subset \mathbb R$). Tu razonamiento para $\sigma_p(T) = \emptyset$ es solo parcialmente correcto (como indica la otra respuesta) porque solo funciona si $\lambda \in \mathbb N$ (¡de lo contrario $n = \lambda$ no funciona!). Pero la secuencia $$ x_n = \begin{cases} 1, & \text{para } n = \lambda, \\ 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} $$ está en $\text{dom}(T)$, ya que $$ n x_n = \begin{cases} \lambda, & \text{para } n = \lambda, \\ 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} $$ y por lo tanto $$ \| (n x_n)_{n \in \mathbb N} \|_{\ell^2} = \sqrt{\sum_{n = 0}^{\infty} (n x_n)^2} = \lambda < \infty. $$ Esto muestra que $\mathbb N \subset \sigma_p(T)$ y es igual si argumentas que para $\lambda \not\in \mathbb N$ no hay solución para $(n - \lambda) x_n = 0$ para todos $n \in \mathbb N$ y la solución anterior es la única para $\lambda \in \mathbb N$.

Tenemos $$ \sigma_c(T) := \{ \lambda \in \mathbb R: T - \lambda \text{ inyectiva}, \text{ ran}(T - \lambda) \subsetneq \ell^2 \text{ denso} \}. $$ Para que $T - \lambda$ sea inyectiva, $(T - \lambda) x = ((n - \lambda) x_n)_{n \in \mathbb N} = 0$ tiene que implicar que $x = 0$. Hemos visto anteriormente que esto es cierto para todos los $\lambda \in \mathbb R \setminus \mathbb N$.