Determinante de un endomorfismo sobreyectivo de $R^{\oplus n}$

Question

Sea $R$ un anillo conmutativo con identidad y sea $f\colon R^{\oplus n}\to R^{\oplus n}$ una aplicación lineal sobreyectiva. Demuestra que $\det f\in R^\times$.

Esta pregunta fue inspirada por Un homomorfismo sobreyectivo entre módulos libres finitos del mismo rango.

Tengo curiosidad por saber cuál es la demostración mencionada en la pregunta.

Answer 1

Llamamos $e^1,\cdots, e^n$ a la base canónica de $R^n$, llamamos $F$ a la matriz que representa $f$ en esa base y llamamos $F^1,\cdots, F^n$ a las columnas de $F$. Decir que $\operatorname{col}F=R^n$ significa que existen $a_{ij}$ tales que para todo $j$, $\sum_{i=1}^n a_{ij}F^i=e^j$. En otras palabras, que existe una matriz $n\times n$ llamada $A$ tal que $FA=I$. Ahora, por el teorema de Binet, $\det(F)\det(A)=\det(FA)=\det I=1$, q.e.d.

Por qué se cumple Binet en anillos conmutativos con 1: Consideremos el anillo de polinomios $R[X_1,\cdots, X_n]$. Existe un homomorfismo natural $u:\Bbb Z[X_1,\cdots, X_n]\to R[X_1,\cdots, X_n]$, $u_R(\sum_{J\in\Bbb N^n} a_JX^J)=\sum_{J\in\Bbb N^n}(a_J)_RX^J$, donde $n_R:=\underbrace{1+\cdots+1}_{n\text{ veces}}$. Además, dado un punto $p\in R^n$, llamamos $\nu_p:R[X_1,\cdots,X_n]\to R$ a la función $\nu_p(f)=f(p)$. Ahora, Binet para matrices en $R^{n\times n}$ implica que dado el siguiente polinomio $b\in \Bbb Z[X_{ij},Y_{ij}\,:\, 1\le i,j\le n]$ $$b=\left(\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n\sum_{j=1}^nX_{ij}Y_{j,\sigma(i)}\right)-\left(\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^nX_{i,\sigma(i)}\right)\left(\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^nY_{i,\sigma(i)}\right)$$

tenemos que $\nu_p(u_R(b))=0$ para todo $p\in R^{n\times n}\times R^{n\times n}$. Sin embargo, por el principio de identidad de polinomios, probar Binet en el caso especial donde $R$ es un dominio infinito (por ejemplo, el campo $\Bbb R$ o $\Bbb Q$) implica que $b=0$.