Matrices que son > 1 en cierto sentido

Question

¿Cómo puedo caracterizar la clase de matrices cuadradas de manera que: $ ||MN||_F \geq ||M||_F $?

En otras palabras, cuando se multiplican, siempre dan productos "más grandes".

La norma es la norma de Frobenius, que es la misma que la norma euclidiana de la vectorización de las matrices.

Nota: si reinterpretamos esto en vectores, estamos pidiendo una clase de vectores de manera que: $ || U \otimes V|| \geq ||V|| $ donde $\otimes$ es el producto de matrices habitual convirtiendo los vectores en matrices y convirtiendo el resultado de nuevo en un vector. En otras palabras, si vec significa vectorización y mat significa matrización, entonces:
$ U \otimes V = vec(mat(U) \cdot mat(V))

Nota: la norma de Frobenius se puede definir como $||M|| = \sqrt{trace M^\ast M}$, así que lo que queremos es:
$ tr (MN)^\ast (MN) \geq tr M^\ast M$
$ tr N^\ast M^\ast M N \geq tr M^\ast M$
$ tr M^\ast M N N^\ast \geq tr M^\ast M$
$ tr N N^\ast M^\ast M \geq tr M^\ast M$
usando la propiedad cíclica de la traza.

Nota: la norma de Frobenius también es la $\sqrt{\mbox{suma de cuadrados de entradas}}$. Así que el requisito también se puede expresar como:
$ \sqrt{ \sum_{ij} (\sum_k m_{ik} n_{kj})^2 } \geq \sqrt{ \sum_{ij} m_{ij}^2 } $
$ \sum_{ij} (\sum_k m_{ik} n_{kj})^2 \geq \sum_{ij} m_{ij}^2

Pero no sé cómo proceder más a partir de esto...

Answer 1

$\def\vec#1{\mathbf{#1}}\def\tr{\mathop{\mathrm{tr}}}$ Desarrollaré la respuesta sugerida en los comentarios por claridad. Estoy asumiendo que quieres condiciones para $N$ tal que $\forall M: \| MN \|_F \geqslant \| M \|_F~$(donde $\|\ast\|_F$ es la norma de Frobenius).

Generalmente consideraré los cuadrados de la norma de Frobenius, ya que la desigualdad se conserva al cuadrar. Considera un operador $M$ con descomposición en valores singulares $$ M = \sum_j s_j \; \vec q_j \vec r_j^\ast \;,$$ donde $\vec q_j$ y $\vec r_j$ son los conjuntos ortonormales de vectores singulares izquierdos y derechos, y donde los valores singulares son una secuencia decreciente de reales no negativos, $s_1 \geqslant s_2 \geqslant \cdots \geqslant 0$. Entonces la norma de Frobenius de $M$ es simplemente la norma euclidiana del vector $\vec s$ de valores singulares, por $$ \| M \|_F^2 \;=\;\tr(M M^\ast) = \tr\left( \sum_j \sum_k s_j s_k \; \vec q_j^{\phantom \ast} \vec r_j^\ast \vec r_k^{\phantom \ast} \vec q_k^\ast \right) = \;\sum_j s_j^2 \;.$$ Considera lo que sucede cuando multiplicamos por la izquierda por $M$: el cuadrado de la norma de Frobenius es $$\begin{align*} \| MN \|_F^2 \;&=\;\tr(MN N^\ast M^\ast) \;=\;\tr(N^\ast M^\ast MN) \\\\&= \sum_j \sum_k s_j s_k \tr\left( N^\ast \vec r_j^{\phantom \ast} \vec q_j^\ast \vec q_k^{\phantom \ast} \vec r_k^\ast N \right) \\\\&= \;\sum_j s_j^2 \tr\left( N^\ast \vec r_j^{\phantom \ast} \vec r_j^\ast N \right) \\\\&= \;\sum_j s_j^2 \tr\left( \vec r_j^\ast N N^\ast \vec r_j^{\phantom \ast} \right) \\\\&= \;\sum_j s_j^2 \bigl\| N^\ast \vec r_j^{\phantom \ast} \bigr\|_F^2 \;,\end{align*}$$ usando la propiedad cíclica de la traza en la segunda y penúltima líneas, y el hecho de que la traza de un escalar es el escalar mismo (que en este caso sucede ser el producto interno de un vector consigo mismo, o el cuadrado de la norma euclidiana de ese vector).

Queremos que el valor en la última línea de arriba sea mayor que $\| M \|_F^2$ sin importar cuáles sean los vectores singulares derechos $\vec r_j$, o cuáles son los valores singulares $s_j$. En particular, debe ser mayor incluso si $s_1$ es el único valor singular distinto de cero (es decir, incluso si $M$ es un operador de rango uno); por lo tanto, podemos reducirlo a ese caso especial — requerimos $\| N^\ast \vec r \|_F \geqslant 1$ para todos los vectores unitarios $\vec r$. Si consideramos la descomposición en valores singulares de $N^\ast$, $$ N^\ast = \sum_k c_k \; \vec a_k \vec b_k^\ast \;,$$ esto significa en particular que el valor singular más pequeño $c_n$ debe ser al menos $1$; de lo contrario, tendríamos $\| N^\ast \vec b_n \|_F = c_n \| \vec a_n \| < 1$.

Casi hemos demostrado lo que se afirmó en los comentarios. Observa que podemos obtener fácilmente la descomposición en valores singulares de $N$ a partir de la de $N^\ast$: $$ N = \left( \sum_k c_k\; \vec a_k \vec b_k^\ast \right)^\ast = \sum_k c_k\; \vec b_k \vec a_k^\ast \;;$$ entonces los valores singulares de $N$ también deben ser al menos $1$. Además, dado que todos los valores singulares de $N$ son positivos, es invertible; y podemos mostrar fácilmente $$ N^{-1} = \sum_k c_k^{-1} \;\vec a_k \vec b_k^\ast \;.$$ entonces el valor singular máximo de $N^{-1}$ es a lo sumo $1$, o equivalentemente

$$ \Bigl\| N^{-1} \Bigr\|_\infty \leqslant\; 1\;, $$ donde $\| \ast \|_\infty$ es la norma uniforme en operadores: $$ \| A \|_\infty = \sup\; \Bigl\{ \| A \vec v \| \;:\; \vec v \in \mathop{\mathrm{dom}}(A) \text{ y } \|\vec v\| = 1 \Bigr\}. $$

(Para operadores en espacios vectoriales de dimensión finita, el supremo se puede reemplazar con un máximo; entonces la norma uniforme es esencialmente el mayor valor singular por definición.) Esta es solo otra forma de formular el criterio, y (porque la norma uniforme es una útil norma de operador por derecho propio) posiblemente la forma más útil de presentarlo de manera concisa. Es fácil ver que que $N$ sea invertible y $\| N^{-1} \|_\infty \leqslant 1$ son condiciones necesarias y suficientes: si $N^{-1}$ reduce todos los vectores, entonces $N$ estira todos los vectores, y en particular los vectores singulares derechos de cualquier matriz $M$.