Divergencias renormalizing IR y UV

Question

En las conferencias sobre la efectividad de la teoría de campo el profesor quería encontrar a la corrección de los cuatro puntos de vértice en masa $\phi^4$ teoría mediante el cálculo del diagrama,

$\hspace{6cm}$

Consideramos que el cero externo impulso límite y denotan $p$ como el impulso en el bucle. Entonces tenemos, \begin{align} \int \frac{ d ^d p }{ (2\pi)^4}\frac{1}{p ^4 } & = \frac{ - i }{ 16 \pi ^2 } ( 4\pi ) \Gamma ( \epsilon ) \mu ^\epsilon \\ & = - \frac{ i }{ 16 \pi ^2 } \left( \frac{1}{ \epsilon _{ UV}} - \gamma + \log 4\pi - \log \mu ^2 \right) \\ & = \frac{ i }{ 16 \pi ^2 } \left( \frac{1}{ \epsilon _{ UV}} - \frac{1}{ \epsilon _{ IR}} \right) \end{align} donde hemos introducido la $\mu$ como IR cut-off y, a continuación, tome $\log \mu ^2 $$\frac{1}{\epsilon_{IR}}$.

Esto está muy bien, sin embargo el profesor luego va a decir que este esquema es cero debido a que los dos divergencias cancelar. ¿Por qué habría de ser así? Los dos divergencias surgen por razones completamente distintas. La UV divergencia se debe a un UV de corte (posiblemente de nuevo las partículas de alta energía que surjan en algunos lo alto de la escala) y la segunda es una consecuencia de estudio de una masa de la teoría.

Para más contexto, las notas de la conferencia están disponibles aquí Eficaz la Teoría de Campo (Eq. 4.17)

Answer 1

Creo que no entendieron bien lo que el profesor quería decir. Para entender esto, vamos a evaluar la integral más a fondo (sus expresiones contienen algunos errores). Si utilizamos las dimensiones de regularización de la prescripción de $d\rightarrow d-2\epsilon$ y una masa adicional de la escala de $\mu$, obtenemos la integral en cuestión el siguiente resultado:

$$\int \frac{d^{d-2\epsilon}p}{(2\pi)^{d-2\epsilon}}\frac{1}{(p^2+\mu^2)^2}=\frac{\Gamma(2-d/2+\epsilon)}{(4\pi)^{d/2-\epsilon}}\mu^{-2(2-d/2+\epsilon)}.$$

Para $d=4$ tenemos

$$\int\frac{d^{4-2\epsilon}p}{(2\pi)^{4-2\epsilon}}\frac{1}{(p^2+\mu^2)^2}=\frac{\Gamma(\epsilon)}{16\pi^2}\left(\frac{\mu^2}{4\pi}\right)^{-\epsilon}.$$

La expansión de este a $\epsilon\rightarrow 0,$ llegamos a

$$\int\frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}}\frac{1}{(p^2+\mu^2)^2}\approx\frac{1}{16\pi^2}\left[\frac{1}{\epsilon}-\gamma+\log(4\pi)-\log(\mu^2)\right].$$

En la masa límite, es decir,$\mu\rightarrow 0$, el logaritmo diverge. Entonces, ¿qué podemos decir acerca de la naturaleza acerca de esta divergencia?

Como puede deducirse de los powercounting, un resultado positivo de $\epsilon$ corresponde a curado UV divergencias, mientras que uno negativo curas IR divergencias. En primer lugar, supongamos que tenemos que hacer con UV divergencias y de identificar a $\epsilon=\epsilon_{UV}.$ ¿Qué podemos decir sobre el resto de los divergentes plazo? Podemos observar que la totalidad de la integral tiene que desaparecer (lo cual es demostrado con anterioridad en la conferencia), y esto solo sucede cuando la divergentes término es igual a menos el $1/\epsilon$ plazo, es decir,

$$\frac{1}{\epsilon_{UV}}=\gamma-\log(4\pi)+\log(\mu^2).$$

Siguiente, supongamos que a los que estamos tratando con las divergencias de los infrarrojos, e identificar las $\epsilon=\epsilon_{IR}.$ ahora Tenemos que observar que la evaluación de la integral nos da justo el mismo resultado, pero con $\epsilon_{UV}$ $\epsilon_{IR}$ intercambiados. La condición para la desaparición de la integral es ahora

$$\frac{1}{\epsilon_{IR}}=\gamma-\log(4\pi)+\log(\mu^2).$$

Pero el lado derecho es el mismo que en la condición de la UV! Esto significa que realmente conseguir

$$\epsilon_{UV}=\epsilon_{IR}.$$

Como el profesor ha señalado, esto puede ser interpretado como dimensiones de regularización de la "doma" tanto de la UV y el IR simultáneamente.