Prueba para un problema de optimización con un número infinito de variables

Question

Durante una búsqueda de una solución apropiada a un problema, he tenido que reducirme al siguiente ejercicio:

Supongamos dos funciones compactamente definidas y continuas de Lipschitz $A_1(x)$ y $A_2(x)$ en el dominio $x \in \Xi \equiv [0,0.2]$ tales que:

$ A_1(x) < 0 \quad \forall x \in \Xi $

$ A_2(x) < 0 \quad \forall x \in \Xi $

y

$ \int_\Xi (A_1+A_2)dx = -\frac{8\sqrt{2}}{10} $

$ \int_\Xi (A_1^2+A_2^2)dx = \frac{16}{5} $

Demuestra que $A_1(x) = A_2(x) = \frac{-4}{\sqrt{2}} \quad \forall x \in \Xi$ es una solución única que satisface todas las condiciones anteriores.

Hasta ahora, he abordado el problema como un problema geométrico en una dimensión infinita. Por ejemplo, encontrar $\boldsymbol{A}$ tal que:

$\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}_{< 0}^N \quad N \in \mathbb{N} $

$ \sum_{i=1}^N A_i = -4/\sqrt{2}N $

$ || \boldsymbol{A} ||^2 = 8N $

intentando demostrar que $A_i = -4/\sqrt{2} \quad \forall i = 1,2,...,N$ es la única solución para enteros específicos $N$. Sin embargo, esto se vuelve un problema difícil para mí en $ N \geq 4 $.

Además, algunas experimentaciones numéricas usando algoritmos de optimización parecen validar la conclusión anterior. Sin embargo, el problema es que no puedo verificar realmente el espacio de todos los números usando métodos numéricos.

Answer 1

Este es un problema básico de cálculo. No es necesario "abordar el problema como un problema geométrico en dimensión infinita", sea lo que sea eso.

Renombramos $\Xi$ como $Z$ por conveniencia. Consideramos la función $F = (A_1+2\sqrt{2})^2+(A_2+2\sqrt{2})^2$. Calculamos su integral:

$$ \int_Z (A_1+2\sqrt{2})^2 + (A_2+2\sqrt{2})^2 = \int_Z A_1^2 + 4\sqrt{2}A_2 + 8 + A_2^2 + 4\sqrt{2}A_2 + 8 $$ $$ = \int_Z (A_1^2+A_2^2) + 4\sqrt{2}(A_1+A_2) + 16 = \frac{16}{5}+ 4\sqrt{2}(\frac{-4\sqrt{2}}{5})+\frac{16}{5}$$ $$ = \frac{32}{5}-\frac{32}{5} = 0$$

Esto implica que $F$ es $0$ en $Z$ excepto posiblemente en un conjunto de medida $0$. Dado que ser Lipschitz continuo en un dominio compacto en $\Bbb R$ implica ser continuo, $F$ es continuo y de hecho es identicamente $0$ en $Z$. Dado que es la suma de dos funciones no negativas, esto implica que cada una de esas funciones es identicamente cero en $Z$, o que $A_1=A_2=-2\sqrt{2}$ en $Z$.