Encuentra los polinomios $r(x)$ y $s(x)$ tales que $r(x)(x^2+x+1)+s(x)(x^3-x-1)=1$.

Question

Me doy cuenta de que esto tiene algo que ver con el algoritmo de Euclides sobre $\mathbb{Q}[x]$, y sé cómo demostrar que el $\gcd(x^2+x+1, x^3-x-1)=1$, pero no tengo ni idea de por dónde empezar a buscar polinomios que cumplan con el algoritmo de Euclides.

¿Es principalmente solo ensayo y error? ¿O hay algún proceso metodico que pueda seguir para resolver estos polinomios...

Answer 1

Sea $p(x) = x^{2}+x+1$ y $q(x) = x^{3}-x-1$.

Entonces si dividimos, tenemos $q(x) = (x-1)\cdot p(x) - x$.

Luego dividimos $p(x)$ con $-x$, obtenemos $p(x) = (-x-1)\cdot (-x) + 1$.

Así

$$-x = q(x) - (x-1)\cdot p(x),$$ es decir, $$1 = p(x) - (-x-1)\cdot(-x).$$

Luego $$\begin{align}1 &= p(x) - (-x-1)\cdot (q(x)-(x-1)\cdot p(x))\\ &= (x+1)\cdot q(x) + ((-x-1)\cdot (x-1)+1)\cdot p(x).\end{align}$$

Solamente tomamos $s(x) = x+1$, y $r(x) = -x^{2}+2$.

Answer 2

Otra forma. Sabes por inspección que el grado de $r(x)$ tiene que ser exactamente uno más alto que el de $s(x)$.

Sustituyendo $x= \omega$ y $x = \overline \omega$ a su vez (las raíces complejas conjugadas), el término con $x^2 + x+1$ desaparece, y obtienes inmediatamente:

$s(\omega) = - \frac 1{\omega} = \omega +1$

y $s(\overline \omega) = \overline \omega + 1$

lo cual es consistente con un polinomio lineal $s(x) = x+1$

Ahora necesitamos probar si podemos obtener una solución cuadrática consistente para $r(x)$ correspondiente a esto, entonces el problema está resuelto.

Por inspección, el término principal para $r(x) = - x^2$ y el término constante es $2$. Todo lo que necesitamos es el término medio, que su coeficiente sea $b$, es decir, $r(x) = -x^2 +bx+2$.

Expandiendo, obtenemos:

$-x^4 +x^3(b-1)+x^2(b+1)+x(b+2)+2 + x^4 +x^3-x^2-2x-1 =1$

lo cual nos permite concluir inmediatamente que $b=0$ es una solución consistente.

Esto da $r(x) = -x^2 +2,\ s(x)=x+1$.

Answer 3

Es trivial usando el método de múltiplos más simples. Sea $\,g = x^3\!-\!x\!-\!1.\,$ Notamos que $\,f = x^2\!+\!x\!+\!1\,$ tiene un múltiplo más simple $\,\color{#0a0}{h = x^3\!-\!1}\,$ entonces $\, r\:\!f + s\,g = 1\iff \bmod f\!:\ s\,g\equiv 1\iff s\equiv 1/g,\,$ lo cual calculamos primero módulo el múltiplo más simple $\,\color{#0a0}{h},\,$ es decir, $\,1/g \bmod f = (1/g \bmod \color{#0a0}{x^3\!-\!1})\bmod f,\,$ es decir,

$$\bmod \color{#c00}{x^2\!+\!x}\!+\!1\!:\,\ \dfrac{1}{g}\,\equiv\, \dfrac{1}{\color{#0a0}{x^3\!-\!1}\!-\!x\bmod \color{#0a0}{x^3\!-\!1}}\,\equiv\, \dfrac{-(\color{#c00}{x^2+x})}{-x}\,\equiv\, x+1\qquad$$

Observación El método en la respuesta de Deepak es esencialmente el mismo pero en lugar de reemplazar la aritmética $\bmod f\,$ por cálculos equivalentes usando las raíces de $\,f.$