Convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n^{2/\beta}(n^{2\beta}+1))^{1/5}}$

Question

Estoy atascado en un problema sobre $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n^{\frac{2}{\beta}}(n^{2\beta}+1))^{\frac{1}{5}}}$. Necesito encontrar para qué valores de $\beta$ esta serie converge (la respuesta correcta es $0 < \beta < \frac{1}{2}$) pero no importa cómo lo manipule, no sé cómo aislar beta.

He intentado con el criterio de Leibniz y simplificarlo como $n^{\frac{2}{\beta}}(n^{2\beta}+1) \to \infty$ pero cuando hago eso, encuentro que $\beta$ debe estar entre $ 0 < \beta < 2$ lo cual es falso obviamente. Estoy un poco perdido, al principio pensé que era porque es un polinomio pero como estamos mirando el límite no tiene sentido...

No veo ningún otro criterio que pueda ayudar así que intenté compararlo con una serie que conozco pero me resulta difícil poner esta serie en una forma en la que pueda encontrar una. Creo que en algún momento necesito aislar $\beta$, ¿pero cómo?

¡Gracias por leer!

Answer 1

Nota que : $$\frac{1}{(n^{\frac{2}{\beta}}(n^{2\beta}+1))^{\frac{1}{5}}} \sim \frac{1}{n^{\frac{2}{5 \beta} + \frac{2\beta}{5}}}$$ Deducimos que la serie : $$\sum \frac{1}{(n^{\frac{2}{\beta}}(n^{2\beta}+1))^{\frac{1}{5}}}$$ converge si, y solo si : $$\frac{2}{5 \beta} + \frac{2\beta}{5} > 1$$ si, y solo si : $$2 \beta^2 - 5 \beta + 2 > 0$$ si, y solo si : $$(2 \beta - 1) (\beta - 2) > 0$$ si, y solo si : $$\beta < \dfrac{1}{2} \text{ or } \beta > 2$$

Answer 2

Claramente, la serie diverge para $\beta < 0$ ya que cuando $n \to \infty$, tenemos

$$a_n =\frac{1}{[n^{\frac{2}{\beta}}(n^{2\beta} +1)]^{\frac{1}{5}}}= \frac{n ^{\frac{2}{5|\beta|}}}{(n^{-2|\beta|}+1)^{\frac{1}{5}}}\to +\infty$$

También tenemos

$$a_n =\frac{1}{[n^{\frac{2}{\beta}}(n^{2\beta} +1)]^{\frac{1}{5}}}< b_n = \frac{1}{n^{\frac{2}{5\beta}+\frac{2\beta}{5}}},$$

y $\frac{2}{5\beta}+\frac{2\beta}{5} >1$ si $p(\beta)=2\beta^2 - 5\beta +2 >0$. Las raíces del polinomio cuadrático $p$ son $\frac{1}{2}$ y $2$ y es fácil verificar que $p(\beta) >0$ cuando $\beta< \frac{1}{2}$ y $\beta > 2$. Por lo tanto, $\sum b_n$ es una serie convergente de $p$ y la serie en cuestión $\sum a_n$ converge por el test de comparación para $0<\beta < \frac{1}{2}$ y $\beta > 2$.

Para cualquier $\beta > 0$ y para todo $n$ suficientemente grande, tenemos $n^{2\beta}>1$ y $$a_n =\frac{1}{[n^{\frac{2}{\beta}}(n^{2\beta} +1)]^{\frac{1}{5}}}> b_n = \frac{1}{[n^{\frac{2}{\beta}}(2n^{2\beta})]^{\frac{1}{5}}} =\frac{1}{2^{\frac{1}{5}}n^{\frac{2}{5\beta}+\frac{2\beta}{5}}}$$

La inspección de $p(\beta)$ en el análisis anterior muestra que $p(\beta) \leqslant 0$ y $n^{2\beta}\leqslant 1$ para $\frac{1}{2} \leqslant \beta \leqslant 2$. Por lo tanto, $\sum b_n$ es una serie divergente de $p$ y, por comparación, la serie $\sum a_n$ diverge para $\beta $ en este rango.