Encontrar una secuencia que $\to 0$ "lo suficientemente rápido"

Question

En lo que sigue, deja que las secuencias $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ sean números reales estrictamente entre 0 y 1 que satisfacen: $$ a_n \downarrow 0 \textrm{ y } b_n \downarrow 0 $$

Estoy tratando de averiguar si es posible encontrar una secuencia $\{a_n\}_{n \geq 0}$ con la propiedad de que, para cualquier otra secuencia $\{b_n\}_{n \geq 0}$, siempre existe un $N$ (posiblemente dependiendo de $\{b_n\}$) de modo que: $$ a_N > C \cdot \frac{(b_N)^{\alpha}}{b_{N+1}}, \quad \alpha > 1 $$ donde $C$ es alguna constante positiva que depende solo de $\alpha$ (creo que esto es suficiente para que la pregunta tenga sentido, pero podría estar equivocado).

He comprobado esto para algunas progresiones simples como $a_n = n^{-\beta}$ para algún $\beta >1$, y no es difícil idear algunas secuencias $b_n$ que no funcionan. Creo que para este ejemplo específico, la secuencia $b_n = n^{-\gamma}$ con algo así como $\gamma > \beta/(\alpha-1)$ proporciona un contraejemplo.

Answer 1

Supongamos hacia una contradicción que sea cierto. Entonces existe $(a_n)_{n=0}^\infty$ tal que para cada $\alpha>1$ (o, por cierto, para algún $\alpha>0$), podemos encontrar $C_\alpha>0$ con la propiedad deseada. Ahora, selecciona cualquier $b_0\in(0,1)$, y para $n\in\mathbb{N}$, pon \begin{equation}\displaystyle b_{n+1}=\frac{C_\alpha b_n^\alpha}{a_n}\wedge\frac{1}{2}b_n.\end{equation} Luego $(b_n)_{n=0}^\infty\downarrow 0$ en $(0,1)$. Por otro lado, para cada $n\in\mathbb{N}$ tenemos \begin{equation}b_{n+1}\leq\frac{C_\alpha b_n^\alpha}{a_n}\end{equation} y por lo tanto \begin{equation}a_n\leq\frac{C_\alpha b_n^\alpha}{b_{n+1}}.\end{equation>