Grupo cociente con tabla de multiplicación que involucra al subgrupo Klein 4.

Question

Mostrar que el subgrupo $V=\{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$ es normal en $S_4$. Haz una tabla de multiplicación para el grupo cociente de $S_4$ y $V

Probar que $V$ es un subgrupo normal no es un problema, ya que cada elemento es su inverso, y al hacer conjugación se obtiene algo en el subgrupo V. El problema que tengo es hacer la tabla de multiplicación.

Answer 1

Los elementos del grupo cociente $S_4/V$ son los cocientes de $V$ en $S_4$. Así que primero determinaría qué elementos de $S_4$ están en cada uno de esos seis cocientes y les daría etiquetas. Por ejemplo $(1,2)$ está en el cociente $B=\{(1,2),(3,4),(1,3,2,4),(1,4,2,3)\}.$ Recuerda que los cocientes son disjuntos.

A partir de ahí, comienza la tabla de multiplicación. Para multiplicar los cocientes, elige un representante de cada uno y multiplícalos en $S_4$. La elección del elemento en el cociente no importa ya que $V$ es normal, por lo que el cociente está bien definido. Por ejemplo, para encontrar $B*B$, elige un elemento representante de cada uno, en este caso, digamos, $(1,2)*(1,2)=e.$ Dado que $e$ está en $V$, encontramos que $B*B=V$.

Answer 2

\begin{bmatrix} \ast& e & (12)(34) & (13)(24) & (14)(23) \\\hline\hline e & e & (12)(34) & (13)(24) & (14)(23) \\\hline (12) & (12) & (34) & (1423) & (1324) \\\hline (13) & (13) &(1432) & (24) & (1234) \\\hline (23) & (23) &(1243) &(1342) & (14) \\\hline (132) & (132) & (143) & (234) & (124) \\\hline (123) & (123) & (243) & (143) & (134)\end{bmatrix}