Si para cada $z,$ ya sea $|f(z)| \le 1$ o $|f'(z)| \le 1,$ entonces $f$ es un polinomio lineal

Question

Estoy trabajando en el siguiente ejercicio:

Sea $f$ una función entera y supongamos que para todo $z,$ o bien $|f(z)| \le 1$ o bien $|f'(z)| \le 1$ (o ambas). Entonces $f$ es un polinomio lineal.

Tengo algunas preguntas sobre esto. Primero, creo que lo resolví y me gustaría que alguien verificara que mi prueba es correcta:

Prueba. Podemos usar el teorema de Liouville generalizado. Este establece que si $f$ está acotada por $A + B|z|^n$ entonces $f$ es un polinomio de grado a lo sumo $n-1$.

Aplicando este teorema a $|f'|\le 1$ obtenemos que $f'$ es un polinomio de grado a lo sumo $0$ en puntos donde $|f'|\le 1$. Por lo tanto, en estos puntos $f$ es un polinomio de grado a lo sumo $1$.

En los otros puntos, $f$ tiene un grado a lo sumo $0$.

Por lo tanto, $f$ tiene un grado a lo sumo $1$ en todas partes.

¿Es correcta esta prueba?

Mi otra pregunta sobre este ejercicio es la siguiente:

La pista que tengo es escribir $f$ como

$$f(z) = f(z_0) + \int_{z_0}^z f'(w) dw$$

donde $z_0 = t_0 z$ donde $t_0 = \sup \{t_1 \mid 0 \le t \le t_1, |f(tz)|\le 1 \}$.

Entonces uno expresa $f(z)$ como una integral a lo largo de una línea desde $z_0$ hasta $z$. Tomando el valor absoluto en ambos lados y usando la desigualdad triangular:

$$|f(z)| \le |f(z_0)| + \int_{z_0}^z |f'(w)| dw$$

Estaba tentado a continuar agregando $$\le |f(z_0)| + \int_{z_0}^z 1 dw$$

pero no hay razón por la cual $f'$ debería estar acotada por $1$ entre $z_0$ y $z$.

Así que mi segunda pregunta es:

¿Cómo uso esta pista? ¿Hay algún error en la pista? ¿Debería ser $f'$ en la definición de $t_0$?

Answer 1

Pista: Puede que primero quieras intentar resolver el siguiente problema de cálculo: Supongamos que $0 = a_0 < a_1 < a_2 < \cdots \to \infty .$ Asumamos que $f\in C^1([0,\infty))$ y que para cada $n,$ o bien $|f| \le 1$ en $[a_{n-1},a_n]$ o $|f'| \le 1$ en $[a_{n-1},a_n]$ (o ambas). Demuestra que

$$|f(x)| \le 1+ |f(0)| + x$$

para $x\ge 0.

Answer 2

Creo que hay un error en la pista.

Inspirado por la pista, creo que podemos demostrar lo siguiente:

$\forall x\in \mathbb{C}\backslash\{0\}\ $, supongamos $\ \vert f(z)\vert>1\ $, entonces $\ \vert f’(z)\vert\leq 1.\ $

$Sea\ t_0=inf\lbrace t_1\in [0,1]\vert\ \vert f’(tz)\vert\leq 1, \forall t\in[t_1,1]\rbrace.$

Dado que $\ f(z)\ $es entera, sabemos que tanto $\ f(z)\ $como$\ f’(z)\ $son continuas, entonces$\ \vert f(t_0z)\vert=\vert f’(t_0z)\vert =1\ $

Por la Fórmula Integral del Rectángulo, tenemos$\ f(z)=f(z_0)+\int_{z_0}^{z}f’(\omega)\,d\omega,\ $ donde $\ z_0=t_0z,\ $ la línea de integral es el segmento de línea que conecta$\ z_0\ $y$\ z\ $

Sea A=max$\{\vert f(0)\vert ,\ 1\},\ $entonces$\ \vert f(z)\vert \leq A+\vert\int_{z_0}^{z}f’(\omega)\,d\omega\vert\leq A+\vert z\vert$