Aquí hay una explicación teórica de la representación de por qué la idea de formas modulares de Bianchi valuadas en escalar con peso $k$ no funciona.
Podemos pensar en formas modulares clásicas de peso $k$ como funciones en $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ que son invariantes por la izquierda por $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ y transforman de cierta manera a la derecha a través de la representación irreducible $k$-ésima de $\mathrm{SO}(2)$, que es simplemente el carácter $$\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \mapsto e^{ik\theta}.$$ Dado que $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) / \mathrm{SO}(2) \cong \mathbb{H}$, podemos pensar en ellos como funciones en $\mathbb{H}$.
Adélicamente, puedes pensar en esto como una forma automorfa en $\mathrm{GL}_2(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ que es invariante por la izquierda por $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q})$, invariante por la derecha bajo $K_{\mathrm{fin}}$, el subgrupo compacto maximal de $\mathrm{GL}_2$ de los adéles finitos (incrustados en $\mathrm{GL}_2(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$), y transforma bajo $K_{\infty} = \mathrm{O}(2)$ a través de la acción de una representación irreducible. La razón por la que la forma clásica correspondiente es valuada en escalar es que $\mathrm{SO}(2)$ es abeliano, por lo que todas las representaciones irreducibles son caracteres, que son representaciones de una dimensión.
(Como observación, las representaciones de $\mathrm{O}(2)$ pueden ser bidimensionales, pero esto significa que realmente deberíamos pensar en las formas cuspidales holomórficas valuadas en escalar como pares valuados en vector de formas cuspidales holomórficas y antiholomórficas, y una está completamente determinada por la otra, por lo que no hay problema en trabajar solo con formas cuspidales holomórficas).
Para las formas modulares de Bianchi, por otro lado, comenzamos adélicamente con $\mathrm{GL}_2(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}(i)})$ que es invariante por la izquierda por $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}(i))$, invariante por la derecha bajo $K_{\mathrm{fin}}$, el subgrupo compacto maximal de $\mathrm{GL}_2$ de los adéles finitos (incrustados en $\mathrm{GL}_2(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}(i)})$), y transforma bajo $K_{\infty} = \mathrm{U}(2)$ vía la acción de una representación irreducible. Clásicamente, podemos pensar en esto como una función valuada en escalar en $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ que es invariante por la izquierda por $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}[i])$ y transforma de cierta manera a la derecha a través de una representación irreducible de $\mathrm{SU}(2)$.
El problema ahora es que si esta representación irreducible de $\mathrm{SU}(2)$ no es unidimensional (lo cual, a diferencia de $\mathrm{SO}(2)$, realmente puede suceder), no podemos pensar en ellas como funciones valuadas en escalar en $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C}) / \mathrm{SU}(2) \cong \mathbb{H}^3$, porque la acción de $\mathrm{SU}(2)$ no es por un carácter. Más bien, esta forma automorfa valuada en escalar en $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ genera un espacio vectorial de dimensión finita (como una representación de $\mathrm{SU}(2)$), y podemos elegir una base $f_1,\ldots,f_m$ de este espacio vectorial y construir una forma automorfa valuada en vector $(f_1,\ldots,f_m)$ en $\mathbb{H}^3$.
