Problema de lanzamiento de monedas Encuentra E(x) y Var(x)

Question

Hay una moneda justa y una moneda sesgada que cae cara con una probabilidad de 1/4. Elijes al azar una de las monedas y la lanzas hasta que obtengas una cara. Sea X el número de lanzamientos que necesitas. Calcula E(X) y Var[X].

En la pregunta, hice:

Sea H denota obtener una cara, $$P(H)= \frac12*\frac12+\frac12*\frac14=\frac38$$ $$E(X)=\frac1p=\frac83$$ $$Var(X)=\frac q{p^2} = \frac {40}9$$

pero el TA dijo que la respuesta es $$E(X)=3$$ $$Var(X)=8$$ No tengo ni idea de dónde cometí el error

Answer 1

El número esperado de lanzamientos para lograr una cara si la probabilidad de cara es $p$ es $E[X_p] = {1 \over p}$.

(Esto se puede verificar rápidamente a partir de la ecuación $p\cdot 1 + (1-p)\cdot (E[X_p] +1) = E[X_p]$ .)

Luego, si $C=1$ con probabilidad ${ 1\over 2}$ si eliges la moneda justa y $C=0$ con probabilidad ${ 1\over 2}$ si eliges la moneda sesgada, el resultado será $C\cdot X_{1 \over 2} + (1-C) \cdot X_{1 \over 4}$ y así \begin{eqnarray} E[C\cdot X_{1 \over 2} + (1-C) \cdot X_{1 \over 4}] &=& E[C\cdot] E[ X_{1 \over 2}] + E[1-C] \cdot E[X_{1 \over 4}] \\ &=& {1 \over 2} \cdot 2 + { 1\over 2} \cdot 4 \\ &=& 3 \end{eqnarray}