$f(x, y)$ está dado por $f(x, y) = (x^2 - 5x \cdot y) \cdot e^y$

Question

Estas son las preguntas a las que esa función que me está costando trabajo:

1. Encuentra las derivadas parciales de primer y segundo orden de $f(x, y)$.
2. Encuentra los puntos estacionarios de $f(x, y)$ y determina para cada punto si es un punto máximo local, un punto mínimo local o un punto de silla.
3. ¿Es posible decir algo sobre si la función tiene valores máximos y mínimos basados en la información que has encontrado?

He intentado una y otra vez y estoy empezando a frustrarme. Es un problema de extra que realmente no tengo que hacer, pero me gustaría hacerlo de todos modos.

¿Qué obtuve en el primer problema:

Primer orden: $f'_x(x,y) = (2x-5y)\cdot e^y$ y $f'_y(x,y) = -5x\cdot e^y$.

¿Correcto?

Answer 1

(1) Parece que tu $f_x$ está correcta (notando que en general no se escribe $f_x'$ para la derivada. El subíndice $x$ muestra que has tomado la derivada con respecto a $x$) Sin embargo, tu $f_y$ no parece estar del todo correcta.

Tienes $$f(x,y) = (x^2 - 5xy)e^y = x^2e^y - 5xye^y$$ Entonces $$f_y = x^2e^y-5xe^y - 5xye^y \quad\text{(regla del producto).}$$ (2) Para encontrar los puntos estacionarios necesitas resolver el sistema de ecuaciones $$\begin{align} f_x(x,y) = 0 \quad &\text{y}\quad f_y(x,y) = 0.\\ 2x = 5y \quad&\text{y}\quad x^2-5x-5xy = 0\Rightarrow \\ x^2 - 5x - 5x(\frac{2}{5}x) &= 0 \Rightarrow \\ x(x -7) &= 0. \end{align}$$ Probablemente puedas resolver esto...

(3) Para clasificar los puntos estacionarios calculas las segundas derivadas parciales: $$f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}$$ Luego calculas el "discriminante": $$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}f_{yx}.$$ en los puntos estacionarios. Entonces tienes $$\begin{align} D > 0 \text{ y } f_{xx} > 0 &\Rightarrow \text{mínimo local} \\ D > 0 \text{ y } f_{xx} < 0 &\Rightarrow \text{máximo local} \\ D < 0 &\Rightarrow \text{punto de silla}. \end{align}$$ Si $D = 0$, no lo sabes.